Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung eines Ereignisses oder einer Reihe von Ereignissen. Es gibt verschiedene Arten von Baumdiagrammen, aber sie alle haben die gleiche Struktur: Ein Hauptknoten, der in zwei oder mehr Unterknoten aufgeteilt wird. Jeder Unterknoten wird dann in zwei weitere Unterknoten aufgeteilt, usw. Diese Art der Darstellung ist sehr hilfreich, um sich ein Ereignis vorzustellen und zu verstehen, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann.
Stellen wir uns zum Beispiel einen Würfel vor. Wir können ein Baumdiagramm erstellen, um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zahl zu würfeln ist. Der Hauptknoten wird die Zahl sein, die wir würfeln wollen, und jeder Unterknoten wird eine der möglichen Ergebnisse sein. In diesem Fall sind die möglichen Ergebnisse die Zahlen 1 bis 6, die auf den Seiten des Würfels angegeben sind. Wenn wir also die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, eine bestimmte Zahl zu würfeln, können wir einfach den Weg durch das Baumdiagramm finden und die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse addieren.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mithilfe eines Baumdiagramms
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen wollen, müssen wir den Weg durch das Baumdiagramm finden, der zu dem gewünschten Ergebnis führt. Dieser Weg wird als Pfad bezeichnet. Wenn wir den Pfad finden, können wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse addieren, um die Wahrscheinlichkeit des Gesamtereignisses zu berechnen.
Betrachten wir zum Beispiel das folgende Baumdiagramm:
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, dass das Ergebnis der Münze 3 oder die Zahl auf dem Würfel 5 ist, müssen wir den Pfad finden, der zu diesem Ergebnis führt. In diesem Fall ist der Pfad 3-5-5. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu finden, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis auf dem Pfad multipliziert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 3 = 1/2, für das Ereignis 5 = 1/6 und für das Ereignis 5 = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades 3-5-5 ist also 1/2 * 1/6 * 1/6 = 1/144. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Münze 3 oder die Zahl auf dem Würfel 5 ist, 1/144 ist.
Beispielaufgabe 1
Betrachten Sie das folgende Baumdiagramm:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Münze 3 ist und die Zahl auf dem Würfel 5 ist.
Lösung
In diesem Fall ist der Pfad 3-5-5. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu finden, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis auf dem Pfad multipliziert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 3 = 1/2, für das Ereignis 5 = 1/6 und für das Ereignis 5 = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades 3-5-5 ist also 1/2 * 1/6 * 1/6 = 1/144.
Beispielaufgabe 2
Betrachten Sie das folgende Baumdiagramm:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Münze 1 ist und die Zahl auf dem Würfel 4 ist.
Lösung
In diesem Fall ist der Pfad 1-4-4. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu finden, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis auf dem Pfad multipliziert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1 = 1/2, für das Ereignis 4 = 1/6 und für das Ereignis 4 = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades 1-4-4 ist also 1/2 * 1/6 * 1/6 = 1/144.
Beispielaufgabe 3
Betrachten Sie das folgende Baumdiagramm:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Münze 2 ist und die Zahl auf dem Würfel 3 ist.
Lösung
In diesem Fall ist der Pfad 2-3-3. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu finden, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis auf dem Pfad multipliziert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 2 = 1/2, für das Ereignis 3 = 1/6 und für das Ereignis 3 = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades 2-3-3 ist also 1/2 * 1/6 * 1/6 = 1/144.
Beispielaufgabe 4
Betrachten Sie das folgende Baumdiagramm:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Münze 1 ist und die Zahl auf dem Würfel 3 ist.
Lösung
In diesem Fall ist der Pfad 1-3-3. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu finden, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis auf dem Pfad multipliziert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1 = 1/2, für das Ereignis 3 = 1/6 und für das Ereignis 3 = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades 1-3-3 ist also 1/2 * 1/6 * 1/6 = 1/144.
Beispielaufgabe 5
Betrachten Sie das folgende Baumdiagramm:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Münze 2 ist und die Zahl auf dem Würfel 4 ist.
Lösung
In diesem Fall ist der Pfad 2-4-4. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu finden, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis auf dem Pfad multipliziert. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 2 = 1/2, für das Ereignis 4 = 1/6 und für das Ereignis 4 = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades 2-4-4 ist also 1/2 * 1/6 * 1/6 = 1/144.
