In der Mathematik bezeichnet man mit dem Wertebereich einer Funktion f den Bereich aller Werte, die die Funktion annehmen kann.
Der Wertebereich einer Funktion wird oft auch als Bild bezeichnet.
Beispiel 1:
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = 2x + 1
Der Wertebereich dieser Funktion ist die Menge aller Werte, die man durch die Funktion erhält, also alle Werte y, für die es ein x gibt, so dass gilt f(x) = y.
In unserem Fall ist also y eine Zahl, für die es ein x gibt, so dass gilt y = 2x + 1.
Als erstes können wir uns überlegen, welche Werte y überhaupt in Frage kommen. Die Funktion gibt uns für jedes x eine Zahl y aus, d.h. y ist eine ganze Zahl.
Weiterhin ist y abhängig von x. Das bedeutet, dass y unterschiedliche Werte annehmen kann, je nachdem welchen Wert x wir einsetzen. Wenn wir also Beispiele für x und y finden wollen, können wir z.B. einige Zahlen für x auswählen und dann nach y suchen.
Wir wählen als erstes x = 0. Wenn wir x in die Funktion einsetzen, erhalten wir y = 2 × 0 + 1 = 1.
Als nächstes wählen wir x = 1. Setzen wir x in die Funktion ein, erhalten wir y = 2 × 1 + 1 = 3.
Und so können wir weitermachen. Wir setzen x = 2 ein und erhalten y = 2 × 2 + 1 = 5. Dann x = 3 und erhalten y = 2 × 3 + 1 = 7. Wir können uns also die folgende Tabelle aufstellen:
x
y
0
1
1
3
2
5
3
7
Wir können uns die Zahlen in der zweiten Spalte also als die Werte vorstellen, die die Funktion für die Zahlen in der ersten Spalte ausgibt. Wir können diese Zahlen also in eine Menge schreiben:
y = {1, 3, 5, 7}
Das ist der Wertebereich der Funktion.
Beispiel 2:
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x2 – 3
Auch in diesem Fall ist der Wertebereich die Menge aller Werte, die man durch die Funktion erhält, also alle Werte y, für die es ein x gibt, so dass gilt f(x) = y.
Wie im vorherigen Beispiel können wir uns überlegen, welche Werte y überhaupt in Frage kommen. Die Funktion gibt uns für jedes x eine Zahl y aus, d.h. y ist eine ganze Zahl. Weiterhin ist y abhängig von x. Das bedeutet, dass y unterschiedliche Werte annehmen kann, je nachdem welchen Wert x wir einsetzen. Wenn wir also Beispiele für x und y finden wollen, können wir z.B. einige Zahlen für x auswählen und dann nach y suchen.
Wir wählen als erstes x = 0. Wenn wir x in die Funktion einsetzen, erhalten wir y = 02 – 3 = -3.
Als nächstes wählen wir x = 1. Setzen wir x in die Funktion ein, erhalten wir y = 12 – 3 = -2.
Und so können wir weitermachen. Wir setzen x = 2 ein und erhalten y = 22 – 3 = -1. Dann x = 3 und erhalten y = 32 – 3 = 0. Wir setzen x = 4 ein und erhalten y = 42 – 3 = 1. Wir können uns also die folgende Tabelle aufstellen:
x
y
0
-3
1
-2
2
-1
3
0
4
1
Wir können uns die Zahlen in der zweiten Spalte also als die Werte vorstellen, die die Funktion für die Zahlen in der ersten Spalte ausgibt. Wir können diese Zahlen also in eine Menge schreiben:
y = {-3, -2, -1, 0, 1}
Das ist der Wertebereich der Funktion.
Aufgabe 1:
Finde den Wertebereich der folgenden Funktion:
f(x) = 3x + 2
Lösung: Der Wertebereich der Funktion ist die Menge aller Werte y, für die es ein x gibt, so dass gilt f(x) = y.
In unserem Fall ist also y eine Zahl, für die es ein x gibt, so dass gilt y = 3x + 2.
Als erstes können wir uns überlegen, welche Werte y überhaupt in Frage kommen. Die Funktion gibt uns für jedes x eine Zahl y aus, d.h. y ist eine ganze Zahl.
Weiterhin ist y abhängig von x. Das bedeutet, dass y unterschiedliche Werte annehmen kann, je nachdem welchen Wert x wir einsetzen. Wenn wir also Beispiele für x und y finden wollen, können wir z.B. einige Zahlen für x auswählen und dann nach y suchen.
Wir wählen als erstes x = 0. Wenn wir x in die Funktion einsetzen, erhalten wir y = 3 × 0 + 2 = 2.
Als nächstes wählen wir x = 1. Setzen wir x in die Funktion ein, erhalten wir y = 3 × 1 + 2 = 5.
Und so können wir weitermachen. Wir setzen x = 2 ein und erhalten y = 3 × 2 + 2 = 8. Dann x = 3 und erhalten y = 3 × 3 + 2 = 11. Wir können uns also die folgende Tabelle aufstellen:
x
y
0
2
1
5
2
8
3
11
Wir können uns die Zahlen in der zweiten Spalte also als die Werte vorstellen, die die Funktion für die Zahlen in der ersten Spalte ausgibt. Wir können diese Zahlen also in eine Menge schreiben:
y = {2, 5, 8, 11}
Das ist der Wertebereich der Funktion.
Aufgabe 2:
Finde den Wertebereich der folgenden Funktion:
f(x) = -x2 + 5
Lösung: Der Wertebereich der Funktion ist die Menge aller Werte y, für die es ein x gibt, so dass gilt f(x) = y.
In unserem Fall ist also y eine Zahl, für die es ein x gibt, so dass gilt y = -x2 + 5.
Als erstes können wir uns überlegen, welche Werte y überhaupt in Frage kommen. Die Funktion gibt uns für jedes x eine Zahl y aus, d.h. y ist eine ganze Zahl.
Weiterhin ist y abhängig von x. Das bedeutet, dass y unterschiedliche Werte annehmen kann, je nachdem welchen Wert x wir einsetzen. Wenn wir also Beispiele für <
