Die Ableitung ist ein mathematischer Ausdruck, der die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt beschreibt. Wenn man zum Beispiel die Position eines fahrenden Autos verfolgt, kann man seine Geschwindigkeit berechnen, indem man die Steigung der Kurve seiner Position im Zeitdiagramm berechnet. Im Allgemeinen kann die Ableitung f(x) an einem Punkt x der Kurve f als Steigung der Tangentenlinie an diesem Punkt interpretiert werden.
Die Ableitung einer Kurve kann man auch als Bestimmungsfunktion des Änderungsrates der Kurve interpretieren. Die Steigung einer Tangentenlinie an einer Kurve ist gleichbedeutend mit der Änderungsrate der Kurve an diesem Punkt.
Ableitungsregeln
Die Ableitung einer Summe oder einer Differenz ist gleich der Summe oder der Differenz der Ableitungen:
f(x) = g(x) + h(x) → f‘(x) = g‘(x) + h‘(x)
Das Produkt einer Funktion und einer Konstante ist gleich der Produkt der Ableitung der Funktion und der Konstanten:
k • f(x) → k • f‘(x)
Der Quotient einer Funktion und einer Konstante ist gleich der Quotient der Ableitung der Funktion und der Konstanten, wenn man die Konstante auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringt:
f(x) / k → f‘(x) / k
Die Ableitung eines Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitungen der Faktoren:
f(x) • g(x) → f‘(x) • g(x) + f(x) • g‘(x)
Die Ableitung eines Quotienten ist gleich dem Quotient der Ableitungen des Zählers und des Nenners, wenn man den Nenner auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringt und den Bruch vorzieht:
Die Ableitung einer Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten n ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und der Ableitung der Basis hoch dem Exponenten minus eins:
f(x) = xn → f‘(x) = n • xn-1
Die Ableitung der Exponentialfunktion e hoch x ist gleich e hoch x:
f(x) = ex → f‘(x) = ex
Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x) ist gleich 1 durch x:
f(x) = ln(x) → f‘(x) = 1 / x
Aufgaben
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
