Das Abstand-Punkt-Ebene-Lotfußpunktverfahren (APE-Verfahren) berechnet den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene. Die Ebene wird durch drei Punkte definiert, die auf der Ebene liegen. Der Punkt, für den der Abstand berechnet werden soll, kann auf der Ebene liegen oder nicht. Wenn der Punkt auf der Ebene liegt, ist der Abstand 0.
Beispiel
Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P(1/2,1/4,1) und der Ebene, die durch die Punkte A(0,0,0), B(1,0,1) und C(0,1,1) definiert ist.
Die Normalenvektor der Ebene ist n = AB x AC = (1,0,1) x (0,1,1) = (0,1,-1). Der Abstand ist dann d = |n • P – n • A| / ||n|| = |(0,1,-1) • (1/2,1/4,1) – (0,1,-1) • (0,0,0)| / ||(0,1,-1)|| = 1/4 / sqrt(2) ~= 0,178.
Aufgaben
Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P(1,2,3) und der Ebene, die durch die Punkte A(0,0,0), B(1,0,1) und C(0,1,1) definiert ist.
Die Normalenvektor der Ebene ist n = AB x AC = (1,0,1) x (0,1,1) = (0,1,-1). Der Abstand ist dann d = |n • P – n • A| / ||n|| = |(0,1,-1) • (1,2,3) – (0,1,-1) • (0,0,0)| / ||(0,1,-1)|| = 5/sqrt(2) ~= 2,121.
Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P(1,1,1) und der Ebene, die durch die Punkte A(0,0,0), B(1,0,1) und C(0,1,1) definiert ist.
Die Normalenvektor der Ebene ist n = AB x AC = (1,0,1) x (0,1,1) = (0,1,-1). Der Abstand ist dann d = |n • P – n • A| / ||n|| = |(0,1,-1) • (1,1,1) – (0,1,-1) • (0,0,0)| / ||(0,1,-1)|| = 0.
Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P(0,1,1) und der Ebene, die durch die Punkte A(1,1,0), B(0,0,1) und C(0,2,1) definiert ist.
Die Normalenvektor der Ebene ist n = AB x AC = (1,1,0) x (0,2,1) = (-2,1,1). Der Abstand ist dann d = |n • P – n • A| / ||n|| = |(-2,1,1) • (0,1,1) – (-2,1,1) • (1,1,0)| / ||(-2,1,1)|| = sqrt(2)/2 ~= 0,707.
Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P(0,-1,1) und der Ebene, die durch die Punkte A(1,1,0), B(0,0,1) und C(0,2,1) definiert ist.
Die Normalenvektor der Ebene ist n = AB x AC = (1,1,0) x (0,2,1) = (-2,1,1). Der Abstand ist dann d = |n • P – n • A| / ||n|| = |(-2,1,1) • (0,-1,1) – (-2,1,1) • (1,1,0)| / ||(-2,1,1)|| = 3*sqrt(2)/2 ~= 2,121.
