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Abstand windschiefer Geraden
Definition 1: Sei d der Abstand zwischen den Punkten (x1, y1) und (x2, y2) auf einer Ebene. Dann ist der Abstand d gegeben durch
d = √Δx2 + Δy2
mit Δx = x2 – x1 und Δy = y2 – y1.
Definition 2: Seien d1 und d2 zwei Geraden mit den Gleichungen
d1: y = m1 x + b1
d2: y = m2 x + b2
Dann ist der Abstand d zwischen diesen beiden Geraden gegeben durch
d = √Δm2 + Δb2
mit Δm = m2 – m1 und Δb = b2 – b1.
Satz: Sei P ein beliebiger Punkt auf einer Ebene. Seien d1 und d2 zwei windschiefe Geraden mit den Gleichungen
d1: y = m1 x + b1
d2: y = m2 x + b2
Dann gilt d = √Δm2 + Δb2
mit Δm = m2 – m1 und Δb = b2 – b1.
Aufgabe 1
Berechne den Abstand der beiden Geraden d1: y = 3x – 7 und d2: y = -1/2x + 5.
Lösung
Da m1 = 3 und m2 = -1/2 gilt, ist Δm = 3 – (-1/2) = 3 + 1/2 = 3,5.
Ebenso ist b1 = -7 und b2 = 5, so dass Δb = -7 – 5 = -7 – 5 = -12.
Damit ergibt sich d = √3,52 + (-12)2 = √3,52 + 144 = √147,52 = 12,2.
Aufgabe 2
Berechne den Abstand der beiden Geraden d1: y = -1x + 3 und d2: y = 5.
Lösung
Da m1 = -1 und m2 = 0 gilt, ist Δm = -1 – 0 = -1.
Ebenso ist b1 = 3 und b2 = 0, so dass Δb = 3 – 0 = 3.
Damit ergibt sich d = √(-1)2 + 32 = √1 + 9 = √10 = 3,16.
Aufgabe 3
Berechne den Abstand der beiden Geraden d1: y = -1x – 4 und d2: y = 2x – 1.
Lösung
Da m1 = -1 und m2 = 2 gilt, ist Δm = -1 – 2 = -3.
Ebenso ist b1 = -4 und b2 = -1, so dass Δb = -4 – (-1) = -4 + 1 = -3.
Damit ergibt sich d = √(-3)2 + (-3)2 = √9 + 9 = √18 = 4,24.
Aufgabe 4
Berechne den Abstand der beiden Geraden d1: y = -2x + 5 und d2: y = -1/2x + 3.
Lösung
Da m1 = -2 und m2 = -1/2 gilt, ist Δm = -2 – (-1/2) = -2 + 1/2 = -1,5.
Ebenso ist b1 = 5 und b2 = 3, so dass Δb = 5 – 3 = 2.
Damit ergibt sich d = √(-1,5)2 + 22 = √2,25 + 4 = √6,25 = 2,5.
Aufgabe 5
Berechne den Abstand der beiden Geraden d1: y = 2x – 3 und d2: y = 4x – 7.
Lösung
Da m1 = 2 und m2 = 4 gilt, ist Δm = 2 – 4 = -2.
Ebenso ist b1 = -3 und b2 = -7, so dass Δb = -3 – (-7) = -3 + 7 = 4.
Damit ergibt sich d = √(-2)2 + 42 = √4 + 16 = √20 = 4,47.
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