Der Abstand d zweier Punkte A und B wird durch die Formel berechnet:
d2 = x2 – x12 + y2 – y12 + z2 – z12
Der Abstand d zweier Punkte A und B wird auch als Strecke, AB oder „A nach B„ bezeichnet.
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist immer positiv oder Null.
Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Ebene
Bei der Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten auf einer Ebene wird die dritte Koordinate ignoriert. Die Formel für die Berechnung lautet dann:
d2 = x2 – x12 + y2 – y12
Abstand zweier Punkte in einem Koordinatensystem
Die folgende Grafik zeigt zwei Punkte A (4|-1) und B (-3|5) im Koordinatensystem. Die Punkte wurden so gewählt, dass der Abstand zwischen den Punkten nicht durch eine ganze Zahl dargestellt werden kann.
Der Punkt A ist der Ursprung des Koordinatensystems. Die x-Achse und die y-Achse sind die Koordinatenachsen des Koordinatensystems. Die Punkte werden in Koordinaten angegeben, wobei das x- und y-Koordinate jeweils durch ein Komma voneinander getrennt werden. In diesem Fall lautet die Koordinate für den Punkt A (4|-1) also 4,-1 und für den Punkt B (-3|5) -3,5.
Der Abstand zwischen den Punkten berechnet sich aus der Formel:
d2 = x2 – x12 + y2 – y12
In diesem Fall wäre die Berechnung des Abstandes wie folgt:
d2 = (-3)2 – 42 + 52 – (-1)2
d2 = 9 + 16 + 25 – 1
d2 = 51
d = √51
d ≈ 7,14
Abstand zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche
Die folgende Grafik zeigt zwei Punkte A (30°|120°) und B (60°|-60°) auf einer Kugeloberfläche.
Die Punkte A und B liegen auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r. Die Punkte werden in Bogenmaß angegeben, wobei das erste Bogenmaß die Länge des Bogenes auf der Kreislinie und das zweite Bogenmaß die Breite des Bogenes ist. In diesem Fall lautet die Koordinate für den Punkt A (30°|120°) also 30° Länge und 120° Breite und für den Punkt B (60°|-60°) 60° Länge und -60° Breite.
Der Abstand zwischen den Punkten berechnet sich aus der Formel:
d2 = r2 + r2 – 2 r2 cos(θ)
In diesem Fall wäre die Berechnung des Abstandes wie folgt:
d2 = r2 + r2 – 2 r2 cos(60°)
d2 = r2 + r2 – 2 r2 (0,5)
d2 = r2 + r2 – r2
d2 = r2
d = √r2
Abstand zweier Punkte im Raum
Die folgende Grafik zeigt zwei Punkte A (1|2|3) und B (4|-5|6) im dreidimensionalen Raum.
Der Punkt A ist der Ursprung des Koordinatensystems. Die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse sind die Koordinatenachsen des Koordinatensystems. Die Punkte werden in Koordinaten angegeben, wobei das x-, y- und z-Koordinate jeweils durch ein Komma voneinander getrennt werden. In diesem Fall lautet die Koordinate für den Punkt A (1|2|3) also 1,2,3 und für den Punkt B (4|-5|6) 4,-5,6.
Der Abstand zwischen den Punkten berechnet sich aus der Formel:
d2 = x2 – x12 + y2 – y12 + z2 – z12
In diesem Fall wäre die Berechnung des Abstandes wie folgt:
d2 = 42 – 12 + (-5)2 – 22 + 62 – 32
d2 = 16 – 1 + 25 – 4 + 36 – 9
d2 = 73
d = √73
d ≈ 8,6
Abstand von einem Punkt zu einer Ebene
Die folgende Grafik zeigt einen Punkt P (2|3|4) und eine Ebene E im dreidimensionalen Raum.
Der Punkt P ist der Ursprung des Koordinatensystems. Die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse sind die Koordinatenachsen des Koordinatensystems. Die Punkte werden in Koordinaten angegeben, wobei das x-, y- und z-Koordinate jeweils durch ein Komma voneinander getrennt werden. In diesem Fall lautet die Koordinate für den Punkt P (2|3|4) also 2,3,4.
Die Ebene E ist durch die Normale n (1|1|1) und den Punkt A (-1|0|0) definiert. Die Normale ist ein Richtungsvektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
Der Abstand von P zu E berechnet sich aus der Formel:
