Die Kettenregel ist ein wichtiges Konzept in der Differential- und Integralrechnung. Mit ihr können Ableitungen von komplexeren Funktionen in mehreren Schritten berechnet werden.
Die Kettenregel gibt an, wie man die Ableitung einer Funktion f(g(x)) berechnet, wenn man die Ableitungen von f und g bereits kennt.
Die Kettenregel lautet:
f(g(x)) = f‚(g(x)) * g‚(x)
Die Kettenregel kann auch auf mehrere Schritte ausgedehnt werden. In diesem Fall lautet die Regel:
Die Kettenregel kann so weiter ausgedehnt werden, wie man möchte. Es ist wichtig zu beachten, dass die Ableitungen in umgekehrter Reihenfolge ausgewertet werden müssen, wie die Funktionen aufeinander folgen.
Beispiele
Betrachten wir einige Beispiele, um die Kettenregel besser zu verstehen.
Angenommen, f(x) = x2, g(x) = x + 1 und h(x) = 2x. Dann ist
Wir können die Kettenregel auch verwenden, um die Ableitung einer inversen Funktion zu finden. Betrachten wir zum Beispiel f(x) = 1/x. Dann ist
f'(x) = -1/x2.
Wenn wir die inverse Funktion von f(x) finden wollen, können wir die Kettenregel verwenden. Wir wissen, dass die inverse Funktion von f(x) die Gleichung f(x) = y löst, wobei y eine Variable ist. Also lösen wir die Gleichung f(x) = y nach x auf.
f(x) = y 1/x = y x-1 = y x = y-1
Also ist die inverse Funktion von f(x) die Gleichung f(x) = x-1.
Aufgaben
Versuchen Sie, die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen. Die Lösungen finden Sie unter den Aufgaben.
Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = 3x2 + 5?
Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = (x + 1)(x – 2)?
Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = 1/x2?
Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = 1/√x?
Angenommen, f(x) = x3, g(x) = 3x2 und h(x) = 6x. Welche Ableitung hat die Funktion f(g(h(x)))?
