In der Mathematik werden Ableitungen verwendet, um Änderungen in Funktionen zu bestimmen. Die Ableitung einer Funktion wird als Steigung der Tangentenlinie an der Kurve der Funktion an einem bestimmten Punkt definiert. Die Steigung der Tangentenlinie gibt an, wie schnell sich die Funktion ändert. Die Ableitung einer Funktion wird normalerweise mit dem Buchstaben f ‚ (x) angegeben.
Eine spezielle Ableitung ist eine Ableitung, die unter Verwendung einer speziellen Regel berechnet wird. Es gibt verschiedene Arten von speziellen Ableitungen, die in der Mathematik verwendet werden. Dazu gehören die Kettenregel, die Produktregel, die Quotientenregel, die Potenzregel und die Wurzelregel.
Kettenregel
Die Kettenregel ist eine spezielle Ableitungsregel, die verwendet wird, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, die die Ergebnisse einer anderen Funktion verwendet. Die Kettenregel wird auch verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, die die Ergebnisse mehrerer Funktionen verwendet. Die Kettenregel wird wie folgt angewendet:
f ‚(x) = [f (g (x))] ‚
In dieser Formel wird f ‚(x) als die Ableitung von f (x) bezeichnet, während g ‚(x) als die Ableitung von g (x) bezeichnet wird. Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, wenn die Funktion die Ergebnisse einer anderen Funktion verwendet. Die Kettenregel wird auch verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, wenn die Funktion die Ergebnisse mehrerer Funktionen verwendet.
Beispiel
Betrachten Sie die folgende Funktion: f (x) = x2 + 3x + 5
Die erste Ableitung dieser Funktion ist: f ‚(x) = 2x + 3
Die zweite Ableitung dieser Funktion ist: f „(x) = 2
In diesem Beispiel wurde die Kettenregel verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, die die Ergebnisse einer anderen Funktion verwendet. Die Kettenregel wurde auch verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, die die Ergebnisse mehrerer Funktionen verwendet.
Aufgabe 1
Finden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
f (x) = 3x2 + 2x – 5
Lösung: f ‚(x) = 6x + 2
Aufgabe 2
Finden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
f (x) = x3 – 3x2 + 5
Lösung: f ‚(x) = 3x2 – 6x
Aufgabe 3
Finden Sie die zweite Ableitung der folgenden Funktion:
f (x) = 4x3 – 12x2 + 10
Lösung: f „(x) = 12x2 – 24x
Aufgabe 4
Finden Sie die zweite Ableitung der folgenden Funktion:
f (x) = x4 – 6x2 + 5
Lösung: f „(x) = 4x3 – 12x
Aufgabe 5
Finden Sie die zweite Ableitung der folgenden Funktion:
