In diesem Artikel lernst du, wie du die trigonometrischen Funktionen ableitest. Dazu gehören die Sinus-, Cosinus- und Tangens-Funktion. Wir gehen dabei Schritt für Schritt vor und geben jeweils Beispiele an, sodass du alles ganz genau verstehst. Also los geht’s!
Sinus-Funktion ableiten
Die Sinus-Funktion ist eine der drei Grundfunktionen der Trigonometrie. Wie du vielleicht weißt, ist der Sinus des Winkels gleich dem Verhältnis von Kathete zu Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Sinus-Funktion ist also definiert als: sin(x) = Kathete / Hypotenuse Wenn wir die Sinus-Funktion ableiten wollen, dann setzen wir x für den Winkel ein und berechnen das Verhältnis der Änderungen von Kathete und Hypotenuse, wenn sich der Winkel um eine kleine Änderung Δx verändert. Also: sin'(x) = (Kathete + Δx) / (Hypotenuse + Δx) – Kathete / Hypotenuse Wenn wir Δx nun ganz klein machen, können wir Δx in die Klammern setzen und auf eine andere Weise schreiben: sin'(x) = Kathete / Hypotenuse * (1 + Δx / Kathete) / (1 + Δx / Hypotenuse) – Kathete / Hypotenuse Jetzt können wir das ganze weiter vereinfachen, in dem wir den Bruch als ganze Zahl ausmultiplizieren und das Δx weglassen, da es ja nun ganz klein ist. sin'(x) = Kathete / Hypotenuse * 1 / 1 – Kathete² / Hypotenuse² Nun können wir die Klammern auflösen und die beiden Bruchterme ausklammern. sin'(x) = Kathete / Hypotenuse – Kathete² / Hypotenuse² * 1 / 1 Wir multiplizieren nun beide Seiten mit Hypotenuse / Hypotenuse und bekommen so: sin'(x) * Hypotenuse / Hypotenuse = Kathete / Hypotenuse * Hypotenuse / Hypotenuse – Kathete² / Hypotenuse² * Hypotenuse / Hypotenuse Wir können nun Hypotenuse auf beiden Seiten weglassen. sin'(x) = Kathete / Hypotenuse – Kathete² / Hypotenuse² Jetzt können wir auf der linken Seite die Sinus-Funktion und auf der rechten Seite das Verhältnis von Kathete zu Hypotenuse einsetzen. Dabei ist die Kathete gleich sin(x) * Hypotenuse. sin'(x) = sin(x) * Hypotenuse – (sin(x) * Hypotenuse)² / Hypotenuse² Wir können nun auf beiden Seiten die Hypotenuse ausklammern. sin'(x) * Hypotenuse = sin(x) * Hypotenuse * Hypotenuse – (sin(x) * Hypotenuse * Hypotenuse)² / Hypotenuse² Wir multiplizieren beide Seiten mit Hypotenuse / Hypotenuse und bekommen so: sin'(x) * Hypotenuse * Hypotenuse / Hypotenuse = sin(x) * Hypotenuse * Hypotenuse / Hypotenuse – sin(x) * (Hypotenuse * Hypotenuse)² / Hypotenuse² Wir können nun Hypotenuse auf beiden Seiten weglassen. sin'(x) * Hypotenuse = sin(x) * Hypotenuse – sin(x) * (Hypotenuse * Hypotenuse) Jetzt können wir die Klammern auflösen und bekommen so: sin'(x) * Hypotenuse = sin(x) * Hypotenuse – sin(x) * Hypotenuse * Hypotenuse Wir multiplizieren beide Seiten mit 1 / sin(x) und bekommen so: sin'(x) / sin(x) * Hypotenuse = Hypotenuse – Hypotenuse * Hypotenuse Wir können nun Hypotenuse auf beiden Seiten weglassen. sin'(x) / sin(x) = 1 – Hypotenuse Und zum Schluss können wir noch 1 / Hypotenuse auf beiden Seiten multiplizieren. sin'(x) / sin(x) * 1 / Hypotenuse = 1 / Hypotenuse – 1 sin'(x) / sin(x) / Hypotenuse = 1 / Hypotenuse² – 1 / Hypotenuse Wir können nun wieder Hypotenuse weglassen. sin'(x) / sin(x) / Hypotenuse = 1 / Hypotenuse – 1 sin'(x) / sin(x) / Hypotenuse = 1 / Hypotenuse – 1 sin'(x) / sin(x) = 1 – 1 / Hypotenuse sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse – 1 / Hypotenuse² sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse * (1 – 1 / Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse * ( Hypotenuse – 1 ) / Hypotenuse sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse * ( Hypotenuse / Hypotenuse – 1 / Hypotenuse ) sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse * ( 1 – 1 / Hypotenuse ) sin'(x) / sin(x) = ( 1 – 1 / Hypotenuse ) / Hypotenuse sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse – 1 / (Hypotenuse²) sin'(x) / sin(x) = 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) – 1 / (Hypotenuse²) sin'(x) / sin(x) = 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) – 1 / (Hypotenuse²) sin'(x) / sin(x) = (Hypotenuse – 1) / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = Hypotenuse / (Hypotenuse * Hypotenuse) – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse² – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 1 / Hypotenuse² – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = 0 – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) / sin(x) = – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) = – sin(x) / (Hypotenuse * Hypotenuse) sin'(x) = – 1 / (Hypotenuse * Hypotenuse) * sin(x) sin'(x) = – 1 / (cos(x))² * sin(x)
Cosinus-Funktion ableiten
Die Cosinus-Funktion ist eine der drei Grundfunktionen der Trigonometrie. Wie du vielleicht weißt, ist der Cosinus des Winkels gleich dem Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Cosinus-Funktion ist also definiert als: cos(x) = Ankathete / Hypotenuse Wenn wir die Cosinus-Funktion ableiten wollen, dann setzen wir x für den Winkel ein und berechnen das Verhältnis der Änderungen von Ankathete und Hypotenuse, wenn sich der Winkel um eine kleine Änderung Δx verändert. Also: cos'(x) = (Ankathete + Δx) / (Hypotenuse + Δx) – Ankathete / Hypotenuse Wenn wir Δx nun ganz klein machen, können wir Δx in die Klammern setzen und auf eine andere Weise schreiben: cos'(x) = Ankathete / Hypotenuse * (1 + Δx / Ankathete) / (1 + Δx / Hypotenuse) – Ankathete / Hypotenuse Jetzt können wir das ganze weiter vereinfachen, in dem wir den Bruch als ganze Zahl ausmultiplizieren und das Δx weglassen, da es ja nun ganz klein ist. cos'(x) = Ankathete / Hypotenuse * 1 / 1 – Ankathete² / Hypotenuse² Nun können wir die Klammern auflösen und die beiden Bruchterme ausklammern. cos'(x) = Ankathete / Hypotenuse – Ankathete² / Hypotenuse² * 1 / 1 Wir multiplizieren nun beide Seiten mit Hypotenuse / Hypotenuse und bekommen so: cos'(x) * Hypotenuse / Hypotenuse = Ankathete / Hypotenuse * Hypotenuse / Hypotenuse – Ankathete² / Hypotenuse² * Hypotenuse / Hypotenuse Wir können nun Hypotenuse auf beiden Seiten weglassen. cos'(x) = Ankathete / Hypotenuse – Ankathete² / Hypotenuse² Jetzt können wir auf der linken Seite die Cosinus-Funktion und auf der rechten Seite das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse einsetzen. Dabei ist die Kathete gleich Ankathete * Hypotenuse. cos'(x) = cos(x) * Hypotenuse – (cos(x) * Hypotenuse)² / Hypotenuse² Wir können nun Hypotenuse auf beiden Seiten weglassen. cos'(x) * Hypotenuse = cos(x) * Hypotenuse * Hypotenuse – (cos(x) * Hypotenuse * Hypotenuse)² / Hypotenuse² Wir multiplizieren beide Seiten mit Hypotenuse / Hypotenuse und bekommen so: cos'(x) * Hypotenuse * Hypotenuse / Hypotenuse = cos(x) * Hypotenuse * Hypotenuse / Hypotenuse – cos(x) * (Hypotenuse * Hypotenuse)² / Hypotenuse² Wir können nun Hypotenuse auf beiden Seiten weglassen. cos'(x) * Hypotenuse = cos(x) * Hypotenuse –
