In der Chance und Statistik wird oft die Bernoulli Kette verwendet. Die Bernoulli Kette ist eine Folge von unabhängigen Zufallsexperimenten mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen, die man als Erfolg (E) oder Misserfolg (M) bezeichnen kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist dabei stets gleich p.
Man kann sich eine Bernoulli Kette als eine Reihe von Zufallsexperimenten vorstellen, bei denen man immer nur zwei mögliche Ergebnisse hat. Zum Beispiel könnte man sich vorstellen, dass man eine Münze wirft und sich entweder Kopf (E) oder Zahl (M) zeigt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E (Kopf) ist hier p=0,5.
Eine weitere Möglichkeit wäre es, zu versuchen, einen Kreis zu treffen, wenn man einen Stein auf ein Blatt Papier wirft. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E (Kreis) ist hier etwas kleiner als p=0,5.
Wenn man sich eine Bernoulli Kette vorstellt, kann man sich auch ein Baumdiagramm dafür erstellen. Ein Baumdiagramm ist eine Art von Diagramm, das man verwendet, um die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments darzustellen.
Das folgende Beispiel zeigt ein Baumdiagramm für eine Bernoulli Kette mit p=0,5. Jede mögliche Folge von Ergebnissen ist in diesem Diagramm dargestellt.
In diesem Diagramm sind alle möglichen Folgen von Ergebnissen dargestellt, die man bei einer Bernoulli Kette mit p=0,5 erwarten kann. Zum Beispiel könnte man die Folge E, E, M, E erwarten, was bedeutet, dass man zwei Köpfe und zwei Zahl in Folge bekommt.
Man kann auch sehen, dass es einige Folgen gibt, die man mit höherer Wahrscheinlichkeit erwarten kann als andere. Zum Beispiel ist die Folge E, E, E, E wahrscheinlicher als die Folge M, M, M, M.
Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Folge von Ergebnissen kann man aus dem Baumdiagramm berechnen. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für die Folge E, E, M, E gleich pxpx(1-p)=0,5×0,5×0,5=0,125.
Insgesamt gibt es 16 mögliche Folgen von Ergebnissen, die man bei einer Bernoulli Kette mit p=0,5 erwarten kann. Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Folgen kann man aus dem Baumdiagramm berechnen.
Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen Folgen von Ergebnissen und ihre Wahrscheinlichkeiten.
Folge
Wahrscheinlichkeit
E, E, E, E
pxpxpxp=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, E, E, M
pxpxpx(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, E, M, E
pxpx(1-p)xp=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, E, M, M
pxpx(1-p)(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, M, E, E
px(1-p)xpx=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, M, E, M
px(1-p)x(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, M, M, E
px(1-p)(1-p)x=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
E, M, M, M
px(1-p)(1-p)(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, E, E, E
(1-p)xpxpx=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, E, E, M
(1-p)xpx(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, E, M, E
(1-p)x(1-p)xpx=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, E, M, M
(1-p)x(1-p)x(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, M, E, E
(1-p)(1-p)xpx=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, M, E, M
(1-p)(1-p)x(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, M, M, E
(1-p)(1-p)(1-p)x=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
M, M, M, M
(1-p)(1-p)(1-p)(1-p)=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625
Insgesamt gibt es 16 mögliche Folgen von Ergebnissen, die man bei einer Bernoulli Kette mit p=0,5 erwarten kann. Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Folgen kann man aus dem Baumdiagramm berechnen.
Aufgabe 1:
Erstelle ein Baumdiagramm für eine Bernoulli Kette mit p=0,7.
Lösung:
In diesem Diagramm sind alle möglichen Folgen von Ergebnissen dargestellt, die man bei einer Bernoulli Kette mit p=0,7 erwarten kann.
Aufgabe 2:
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Folge E, M, M, E bei einer Bernoulli Kette mit p=0,7.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit für die Folge E, M, M, E bei einer Bernoulli Kette mit p=0,7 ist gleich px(1-p)(1-p)x=0,7×0,3×0,3x=0,027.
Aufgabe 3:
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Folge M, E, E, M bei einer Bernoulli Kette mit p=0,2.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit für die Folge M, E, E, M bei einer Bernoulli Kette mit p=0,2 ist gleich (1-p)xpxpx=0,2×0,8×0,8x=0,2048.
Aufgabe 4:
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Folge E, E, M, M, E bei einer Bernoulli Kette mit p=0,6.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit für die Folge E, E, M, M, E bei einer Bernoulli Kette mit p=0,6 ist gleich pxpx(1-p)(1-p)x=0,6×0,6×0,4×0,4x=0,0288.
Aufgabe 5:
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Folge M, M, M, E, E bei einer Bernoulli Kette mit p=0,1.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit für die Folge M, M, M, E, E bei einer Bernoulli Kette mit p=0,1 ist gleich (1-p)(1-p)(1-p)xpx=0,1×0,9×0,9×0,1×0,1x=0,00081.
