Die partielle Ableitung berechnet den Steigungsvektor einer Kurve an einer bestimmten Stelle. Dabei unterscheidet man zwischen der ersten und zweiten partiellen Ableitung. Die erste partielle Ableitung berechnet den Steigungsvektor der Kurve, während die zweite partielle Ableitung den Richtungsvektor der Kurve berechnet.
Die partiellen Ableitungen können auch verwendet werden, um die Tangentengleichung einer Kurve an einer bestimmten Stelle zu finden. Die Tangentengleichung ist eine lineare Gleichung, die die Kurve an dieser Stelle exakt beschreibt. Die Tangentengleichung wird durch den Steigungsvektor und einen Punkt auf der Kurve definiert.
Beispiel:
Finde die Tangentengleichung der Kurve f(x)=x2 an der Stelle x=1.
Die erste partielle Ableitung der Kurve ist f‚(x)=2x. Wir setzen x=1 ein und erhalten f‚(1)=2. Dies ist der Steigungsvektor der Tangentengleichung.
Der Punkt (1,1) liegt auf der Kurve. Die Tangentengleichung der Kurve an dieser Stelle ist y=2x+1.
Aufgabe 1:
Finde die Tangentengleichung der Kurve f(x)=x3 an der Stelle x=1.
Lösung: f‚(x)=3x2. Wir setzen x=1 ein und erhalten f‚(1)=3. Dies ist der Steigungsvektor der Tangentengleichung. Der Punkt (1,1) liegt auf der Kurve. Die Tangentengleichung der Kurve an dieser Stelle ist y=3x2+1.
Aufgabe 2:
Finde die Tangentengleichung der Kurve f(x)=sin(x) an der Stelle x=0.
Lösung: f‚(x)=cos(x). Wir setzen x=0 ein und erhalten f‚(0)=1. Dies ist der Steigungsvektor der Tangentengleichung. Der Punkt (0,0) liegt auf der Kurve. Die Tangentengleichung der Kurve an dieser Stelle ist y=x.
Aufgabe 3:
Finde die Tangentengleichung der Kurve f(x)=e-xsin(x) an der Stelle x=π.
Lösung: f‚(x)=-e-xsin(x)-e-xcos(x). Wir setzen x=π ein und erhalten f‚(π)=-1. Dies ist der Steigungsvektor der Tangentengleichung. Der Punkt (π,0) liegt auf der Kurve. Die Tangentengleichung der Kurve an dieser Stelle ist y=-x.
Aufgabe 4:
Finde die Tangentengleichung der Kurve f(x)=e-xsin(x) an der Stelle x=0.
Lösung: f‚(x)=-e-xsin(x)-e-xcos(x). Wir setzen x=0 ein und erhalten f‚(0)=-1. Dies ist der Steigungsvektor der Tangentengleichung. Der Punkt (0,0) liegt auf der Kurve. Die Tangentengleichung der Kurve an dieser Stelle ist y=-x.
Aufgabe 5:
Finde die Tangentengleichung der Kurve f(x)=x3-3x an der Stelle x=1.
Lösung: f‚(x)=3x2-3. Wir setzen x=1 ein und erhalten f‚(1)=0. Dies ist der Steigungsvektor der Tangentengleichung. Der Punkt (1,1) liegt auf der Kurve. Die Tangentengleichung der Kurve an dieser Stelle ist y=1.
