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Eigenwert berechnen
Der Eigenwert einer quadratischen Matrix ist eine der eindeutigen Lösungen der Gleichung
AX = λX
wobei A die gegebene quadratische Matrix ist, X ein nicht-triviales Nullvektor ist und λ eine reelle oder komplexe Zahl.
Die Eigenwerte einer Matrix sind die Lösungen der Gleichung
det(A-λI)=0
wobei I die Einheitsmatrix ist.
Beispiel 1
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
A =
Σ = -1 + 4i
Σ2 = 9
Lösung
Die Determinante der Matrix ist
det(A-λI) =
Σ2 – (λ + 1)(λ – 9)
Σ2 – (λ2 – 8λ – 10)
Σ2 – (λ2 – 8λ + 2)
Σ2 – (λ – 2)(λ – 4i)
(λ – 1 + 4i)(λ – 1 – 4i) – (λ – 2)(λ – 4i)
(λ – 1)2 + 4i(λ – 1) – 2(λ – 4i)
(λ – 1)2 + 4i(λ – 1) – 2λ + 8i
λ2 – 2λ + 1 + 4i(λ – 1) – 8i
λ2 – 2λ + 1 + 4iλ – 4i – 8i
λ2 – 2λ + 1 + 4iλ – 4i – 8i
λ2 – 2λ + 1 + 4iλ – 12i
λ2 – 2λ + 1 + 4iλ – 12i
λ2 + 4iλ – 4iλ – 2λ + 1 – 12i
λ2 + 4iλ – 4iλ – 2λ + 1 – 12i
(λ + 2i)(λ – 2i) + 1 – 12i
(λ + 2i)(λ – 2i) + 1 – 12i
λ2 – 4i2 + 1 – 12i
λ2 – 4i2 + 1 – 12i
λ2 – 4 – 16i + 1 – 12i
λ2 – 4 – 16i + 1 – 12i
λ2 – 4 – 28i + 13
λ2 – 4 – 28i + 13
λ2 – 4 – 28i + 13
λ2 – 32i + 17
λ2 – 32i + 17 = 0
λ = √(32i – 17) = 4i
λ = -√(32i – 17) = -4i
Beispiel 2
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
A =
Σ = -5
Σ2 = 0
Σ3 = 0
Σ4 = 0
Lösung
Die Determinante der Matrix ist
det(A-λI) =
Σ4 – (λ + 5)(Σ3)
Σ4 – (λ2 + 10λ + 25)(Σ2)
Σ4 – (λ3 + 10λ2 + 25λ)(Σ)
Σ4 – (λ4 + 10λ3 + 25λ2)
Σ4 – λ4(Σ + 10 + 25)
Σ4 – λ4(40)
Σ4 – λ440
Σ4 – λ440 = 0
λ4 = Σ4/40
λ = √(Σ4/40) = √(Σ4/40)
λ = √(Σ4)/√40
λ = √(Σ4)/6.32
λ = (Σ/6.32)2
λ = -5/6.32
λ = -0.79
Beispiel 3
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
A =
Σ = 1
Σ2 = 2
Σ3 = 3
Lösung
Die Determinante der Matrix ist
det(A-λI) =
Σ3 – (λ + 1)(Σ2)
Σ3 – (λ2 + 2λ + 1)(Σ)
Σ3 – (λ3 + 2λ2 + λ)
Σ3 – λ3(Σ + 2 + 1)
Σ3 – λ3(4)
Σ3 – λ34
Σ3 – λ34 = 0
λ3 = Σ3/4
λ = √(Σ3/4) = √(Σ3/4)
λ = √(Σ3)/√4
λ = √(Σ3)/2
λ = (Σ/2)2
λ = 1/2
Beispiel 4
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
A =
Σ = 1
Σ2 = 4
Σ3 = 9
Lösung
Die Determinante der Matrix ist
det(A-λI) =
Σ3 – (λ + 1)(Σ2)
Σ3 – (λ2 + 4λ + 9)(Σ)
Σ3 – (λ3 + 4λ2 + 9λ)
Σ3 – λ3(Σ + 4 + 9)
Σ3 – λ316
Σ3 – λ316 = 0
λ3 = Σ3/16
λ = √(Σ3/16) = √(Σ3/16)
λ = √(Σ3)/√16
λ = √(Σ3)/4
λ = (Σ/4)2
λ = 1/4
Beispiel 5
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
A =
Σ = 6
Σ2 = 36
Σ3 = 216
Σ4 = 1296
Lösung
Die Determinante der Matrix ist
det(A-λI) =
Σ4 – (λ + 6)(Σ3)
Σ4 – (λ2 +
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