Eulersche Identität | Übungen und Aufgaben mit Lösungen

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Eulersche Identität

Die Eulersche Identität ist eine mathematische Gleichung, die eine Beziehung zwischen dem i, dem Euler’schen Konstanten e und der unendlichen Reihe ζ(s) herstellt. Die Gleichung wird oft als die wichtigste Gleichung in der komplexen Analysis bezeichnet.

Die Eulersche Identität ist die Gleichung:

ei^π + 1 = 0

oder auch

e^iπ = -1

Diese Gleichung ist eine Konsequenz aus der Definition der exponentialen Funktion und der Euler-Formel. Die Euler-Formel ist:

ei^θ = cos(θ) + i sin(θ)

Wenn θ gleich π ist, ergibt sich:

ei^π = cos(π) + i sin(π)

Aber cos(π) ist gleich -1 und sin(π) ist gleich 0. Also ist:

ei^π = -1 + i 0

Da i die Quadratwurzel aus -1 ist, ist die Eulersche Identität gleich:

ei^π + 1 = 0

Beispiele

1. Löse die Gleichung e^iπ = -1

2. Löse die Gleichung e^i(π/2) = 0

3. Löse die Gleichung e^i(3π/2) = 0

4. Löse die Gleichung e^i(2π/3) = -1

5. Löse die Gleichung e^i(4π/3) = -1

Lösungen

1. e^iπ = -1 e^iπ = cos(π) + i sin(π) e^iπ = -1

2. e^i(π/2) = 0 e^i(π/2) = cos(π/²) + i sin(π/²) e^i(π/2) = 0

3. e^i(3π/2) = 0 e^i(3π/2) = cos(3π/²) + i sin(3π/²) e^i(3π/2) = 0

4. e^i(2π/3) = -1 e^i(2π/3) = cos(2π/³) + i sin(2π/³) e^i(2π/3) = -1

5. e^i(4π/3) = -1 e^i(4π/3) = cos(4π/³) + i sin(4π/³) e^i(4π/3) = -1

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