Eine Exponentialfunktion ist eine mathematische Funktion, die eine Variable mit einem exponentiellen Wert in Beziehung setzt. Exponentialfunktionen können in der Form f(x) = bx angegeben werden, wobei b eine positive reelle Zahl ist, die nicht gleich 1 ist, und x eine reelle Zahl, die als Exponent fungieren kann. Die Basis b gibt an, wie schnell die Funktion wächst oder abnimmt. Je größer die Basis b ist, desto schneller wächst die Funktion. Wenn b größer als 1 ist, wächst die Funktion, wenn b kleiner als 1 ist, nimmt die Funktion ab.
Die Funktion f(x) = 2x ist ein Beispiel für eine Exponentialfunktion. In diesem Fall ist die Basis b = 2. Die Funktion kann für alle x-Werte ausgewertet werden, aber für unsere Zwecke konzentrieren wir uns auf x-Werte, die ganze Zahlen sind. Die folgende Tabelle enthält einige Werte der Funktion:
x
f(x)
0
1
1
2
2
4
3
8
Wenn wir die Punkte in der Tabelle in einem Koordinatensystem plotten, erhalten wir eine exponential wachsende Kurve:
Die Steigung der Kurve gibt den Wert der Funktion an einer bestimmten Stelle x an. Wenn wir die Steigung der Kurve an der Stelle x = 0 betrachten, sehen wir, dass sie den Wert 1 hat. Dies ist der y-Wert der Punkt (0, 1). Wenn wir die Steigung der Kurve an der Stelle x = 1 betrachten, sehen wir, dass sie den Wert 2 hat. Dies ist der y-Wert des Punktes (1, 2). In der Tat sehen wir, dass der y-Wert des Punktes (x, f(x)) gleich der Steigung der Kurve an der Stelle x ist.
Wenn wir uns die Punkte in der Tabelle genauer ansehen, sehen wir, dass sie ein Muster aufweisen. Der y-Wert ist immer doppelt so groß wie der vorherige y-Wert. Dieses Muster ist ein Hinweis darauf, wie die Funktion wächst. In diesem Fall ist die Funktion f(x) = 2x eine potenzielle Funktion. Wenn wir die Basis der Funktion ändern, ändert sich auch das Wachstum der Funktion. Die folgende Tabelle enthält einige Werte der Funktion f(x) = 3x:
x
f(x)
0
1
1
3
2
9
3
27
Wenn wir die Punkte in einem Koordinatensystem plotten, erhalten wir eine weitere exponential wachsende Kurve:
Wenn wir uns die Punkte in der Tabelle genauer ansehen, sehen wir, dass sie ein anderes Muster aufweisen. In diesem Fall ist der y-Wert des Punktes (x + 1, f(x + 1)) dreimal so groß wie der y-Wert des Punktes (x, f(x)). Dieses Muster ist ein Hinweis darauf, wie die Funktion wächst. In diesem Fall ist die Funktion f(x) = 3x eine 3-fache Funktion.
Wenn b = 2 ist, nennen wir die Funktion eine zweifache Funktion und wenn b = 3 ist, nennen wir die Funktion eine dreifache Funktion. In der Tat können wir diesen allgemeineren Fall betrachten:
f(x) = bx
Wenn b = 2 ist, nennen wir die Funktion eine zweifache Funktion, wenn b = 3 ist, nennen wir die Funktion eine dreifache Funktion und so weiter. Im Allgemeinen nennen wir die Funktion eine b-fache Funktion.
Wenn wir uns die Punkte in der Tabelle ansehen, sehen wir, dass der y-Wert eines Punktes (x + 1, f(x + 1)) gleich bx times the y-Wert eines Punktes (x, f(x)) ist. Daher ist das Wachstum der Funktion an der Stelle x gleich bx. In der Tat ist dies der allgemeine Fall:
Das Wachstum der Funktion an der Stelle x ist gleich bx
Wenn wir den Wert der Basis b ändern, ändert sich auch das Wachstum der Funktion. Wenn b größer als 1 ist, wächst die Funktion, wenn b kleiner als 1 ist, nimmt die Funktion ab.
Aufgaben
1. Finde den y-Wert des Punktes (2, f(2)) für die Funktion f(x) = 3x.
2. Finde den y-Wert des Punktes (3, f(3)) für die Funktion f(x) = 2x.
3. Finde den y-Wert des Punktes (4, f(4)) für die Funktion f(x) = 5x.
4. Finde den y-Wert des Punktes (5, f(5)) für die Funktion f(x) = 1/2x.
5. Finde den y-Wert des Punktes (6, f(6)) für die Funktion f(x) = 1/3x.
