Wenn du zwei oder mehr Vektoren hast, kannst du überprüfen, ob sie linear abhängig sind. Linear abhängige Vektoren sind Vektoren, die nicht unabhängig sind. Sie können aus einer Kombination anderer Vektoren erstellt werden. Zum Beispiel sind die Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6) nicht unabhängig, weil sie linear abhängig sind. Sie können aus der Kombination der Vektoren (1, 2, 3) und (1, 1, 1) erstellt werden. Wenn du also überprüfen willst, ob zwei oder mehr Vektoren linear abhängig sind, musst du zuerst überprüfen, ob sie unabhängig sind. Wenn sie unabhängig sind, sind sie auch linear abhängig. Wenn sie jedoch abhängig sind, können sie linear abhängig sein oder nicht.
Wie prüft man die lineare Unabhängigkeit von Vektoren?
Um zu überprüfen, ob Vektoren linear abhängig sind, kannst du den folgenden algorithmus verwenden:
Überprüfe, ob die Vektoren unabhängig sind.
Wenn sie unabhängig sind, sind sie auch linear abhängig.
Wenn sie abhängig sind, überprüfe, ob sie eine lineare Kombination anderer Vektoren sind.
Wenn sie eine lineare Kombination anderer Vektoren sind, sind sie linear abhängig. Wenn sie jedoch nicht linear abhängig sind, sind sie nicht linear abhängig.
Beispiel 1
Überprüfen wir die Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6). Zuerst überprüfen wir, ob sie unabhängig sind. Dazu können wir eine Matrix mit den Vektoren erstellen und nach Nullvektoren suchen:
Wir sehen, dass es einen Nullvektor gibt, also sind die Vektoren nicht unabhängig. Wir überprüfen nun, ob sie linear abhängig sind. Dazu können wir den Vektor (1, 2, 3) als Kombination der Vektoren (4, 5, 6) und (1, 1, 1) schreiben:
Wir sehen, dass es eine Lösung gibt, also sind die Vektoren linear abhängig.
Beispiel 2
Überprüfen wir die Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6). Zuerst überprüfen wir, ob sie unabhängig sind. Dazu können wir eine Matrix mit den Vektoren erstellen und nach Nullvektoren suchen:
Wir sehen, dass es einen Nullvektor gibt, also sind die Vektoren nicht unabhängig. Wir überprüfen nun, ob sie linear abhängig sind. Dazu können wir den Vektor (4, 5, 6) als Kombination der Vektoren (1, 2, 3) und (1, 1, 1) schreiben:
Wir sehen, dass es eine Lösung gibt, also sind die Vektoren linear abhängig.
Beispiel 3
Überprüfen wir die Vektoren (1, 2, 3), (4, 5, 6) und (7, 8, 9). Zuerst überprüfen wir, ob sie unabhängig sind. Dazu können wir eine Matrix mit den Vektoren erstellen und nach Nullvektoren suchen:
Wir sehen, dass es keine Nullvektoren gibt, also sind die Vektoren unabhängig. Wir überprüfen nun, ob sie linear abhängig sind. Dazu können wir den Vektor (7, 8, 9) als Kombination der Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6) schreiben:
