Orthogonale Matrix | Übungen und Aufgaben mit Lösungen

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Orthogonale Matrix

Eine Orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Inverse gleich der Transponierten ist. Die Spaltenvektoren einer Orthogonalmatrix sind orthogonal zueinander und haben alle die gleiche Länge. Eine Orthogonalmatrix hat also die Eigenschaft, dass sie Vektoren nur dreht und streckt, aber nie spiegelt oder skaliert.

Beispiel 1:

Betrachten wir die Matrix:

$$A=begin{pmatrix} 2 & -1\ 1 & 1 end{pmatrix}$$

Die zwei Spaltenvektoren dieser Matrix sind:

$$v_1=begin{pmatrix} 2\ 1 end{pmatrix}quadtext{und}quad v_2=begin{pmatrix} -1\ 1 end{pmatrix}$$

Die Länge der beiden Vektoren ist:

$$|v_1|=sqrt{2^2+1^2}=sqrt5quadtext{und}quad|v_2|=sqrt{(-1)^2+1^2}=sqrt2$$

Der Vektor $v_1$ ist also orthogonal zu $v_2$:

$$v_1cdot v_2=2cdot(-1)+1cdot1=0$$

Außerdem ist die Matrix $A$ eine Orthogonalmatrix, da ihre Inverse gleich der Transponierten ist:

$$A^{-1}=A^T=begin{pmatrix} 2 & 1\ -1 & 1 end{pmatrix}$$

Beispiel 2:

Die folgende Matrix ist keine Orthogonalmatrix, weil ihre Inverse nicht gleich der Transponierten ist:

$$B=begin{pmatrix} 1 & 1\ 1 & 0 end{pmatrix}$$

Die Inverse von $B$ ist:

$$B^{-1}=begin{pmatrix} 0 & 1\ -1 & 1 end{pmatrix}$$

Und die Transponierte von $B$ ist:

$$B^T=begin{pmatrix} 1 & 1\ 1 & 0 end{pmatrix}$$

Wie man sieht, sind $B^{-1}$ und $B^T$ nicht gleich.

5 Aufgaben mit Lösungen

1. Finde die Orthogonalmatrix $A$, wenn die beiden Spaltenvektoren $v_1$ und $v_2$ gegeben sind:
   $v_1=begin{pmatrix} 1\ -2 end{pmatrix}$
   $v_2=begin{pmatrix} -3\ 4 end{pmatrix}$

Lösung:
Die Spaltenvektoren von $A$ sind:
$A=begin{pmatrix} 1 & -3\ -2 & 4 end{pmatrix}$

2. Finde die Orthogonalmatrix $B$, wenn die beiden Spaltenvektoren $v_1$ und $v_2$ gegeben sind:
   $v_1=begin{pmatrix} 1\ -1 end{pmatrix}$
   $v_2=begin{pmatrix} 2\ 1 end{pmatrix}$

Lösung:
Die Spaltenvektoren von $B$ sind:
$B=begin{pmatrix} 1 & 2\ -1 & 1 end{pmatrix}$

3. Finde die Orthogonalmatrix $C$, wenn die beiden Spaltenvektoren $v_1$ und $v_2$ gegeben sind:
   $v_1=begin{pmatrix} -1\ 3 end{pmatrix}$
   $v_2=begin{pmatrix} 4\ -2 end{pmatrix}$

Lösung:
Die Spaltenvektoren von $C$ sind:
$C=begin{pmatrix} -1 & 4\ 3 & -2 end{pmatrix}$

4. Finde die Orthogonalmatrix $D$, wenn die beiden Spaltenvektoren $v_1$ und $v_2$ gegeben sind:
   $v_1=begin{pmatrix} 2\ 1 end{pmatrix}$
   $v_2=begin{pmatrix} -1\ 1 end{pmatrix}$

Lösung:
Die Spaltenvektoren von $D$ sind:
$D=begin{pmatrix} 2 & -1\ 1 & 1 end{pmatrix}$

5. Finde die Orthogonalmatrix $E$, wenn die beiden Spaltenvektoren $v_1$ und $v_2$ gegeben sind:
   $v_1=begin{pmatrix} -1\ 1 end{pmatrix}$
   $v_2=begin{pmatrix} 1\ 1 end{pmatrix}$

Lösung:
Die Spaltenvektoren von $E$ sind:
$E=begin{pmatrix} -1 & 1\ 1 & 1 end{pmatrix}$

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