Satz von Stokes als klassischer Integralsatz von Stokes | Aufgaben und Übungen mit Lösungen

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Satz von Stokes als klassischer Integralsatz von Stokes

Der Stokes-Satz ist ein klassischer Integralsatz der komplexen Analysis, der sich aus dem Hauptsatz der Analysis ableitet. Er stellt eine Beziehung zwischen einem Integral über die Grenzfläche einer dreidimensionalen Region und einem Integral über die Grenze dieser Region her. Der Satz ist benannt nach dem irischen Mathematiker Sir George Gabriel Stokes.

Beispiel 1

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Beispiel 2

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Beispiel 3

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Beispiel 4

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Beispiel 5

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Aufgabe 1

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Aufgabe 2

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Aufgabe 3

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Aufgabe 4

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x² + y² beschrieben wird. Berechnen Sie das Integral über die Grenzfläche R.

Lösung

Das Integral über die Grenzfläche R ist gleich dem Integral über die Grenze der Region R. Wegen der Symmetrie der Region R können wir das Integral über die Grenze der Region R auf das doppelte Integral über die Grenze der Region R₁ reduzieren, wo R₁ die Region R ist, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0 und z = 0 beschrieben wird. Dann ist das Integral über die Grenzfläche R gleich dem doppelten Integral über die Grenzfläche R₁:

∫_∂R f(x,y,z) dS = 2∫_∂R1 f(x,y,z) dS.

Aufgabe 5

Betrachten Sie die folgende dreidimensionale Region R, die durch die Grenzflächen x = 0, y = 0, z = 0 und z = x²

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