In diesem Artikel werden wir erklären, was Schnittpunkte sind und wie man sie berechnet. Wir werden auch einige Beispiele lösen und 5 Aufgaben zum Selbsttest am Ende des Artikels bereitstellen.
Was sind Schnittpunkte?
Die Schnittpunkte zweier Kurven sind die Stellen, an denen sich die Kurven schneiden. Die Schnittpunkte zweier Funktionen sind die Stellen, an denen sich die Funktionsgraphen schneiden.
In dem obigen Beispiel ist P ein Schnittpunkt der Kurven f und g. Wir können den Schnittpunkt berechnen, indem wir die x-Werte der beiden Kurven gleich setzen und nach x auflösen. Dies wird als Gleichungssystem bezeichnet.
Wie berechnet man Schnittpunkte?
Wie bereits erwähnt, berechnen wir Schnittpunkte, indem wir die x-Werte der beiden Funktionen gleich setzen und nach x auflösen. Dies wird als Gleichungssystem bezeichnet.
Stellen wir uns vor, wir haben die folgenden beiden Funktionen:
f(x) = x2
g(x) = 2x + 1
Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir die x-Werte der beiden Funktionen gleich setzen und nach x auflösen.
f(x1) = g(x1)
x21 = 2x1 + 1
x2 – 2x – 1 = 0
Dies ist eine Quadratische Gleichung, die wir nach x auflösen können.
Nach dem Quadratischen Gesetzt haben wir:
x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a
In unserem Fall ist:
a = 1
b = -2
c = -1
Substituieren wir die Werte in die Quadratische Formel ein:
x = [2 ± √(4 – 4)]/2
x = [2 ± √(0)]/2
x = [2 ± 0]/2
x = [2 ± 0]/2
x = [2/2] ± [0/2]
x = 1 ± 0
x = 1
Hence, the point of intersection is (1, 1).
Beispiele
Beispiel 1
Finde die Schnittpunkte der folgenden Funktionen:
f(x) = x2 – 2x + 1
g(x) = x – 1
Lösung:
Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir die x-Werte der beiden Funktionen gleich setzen und nach x auflösen.
f(x1) = g(x1)
x21 – 2x1 + 1 = x1 – 1
x2 – 2x2 – x + 1 = 0
x2 – x – 1 = 0
Dies ist eine Quadratische Gleichung, die wir nach x auflösen können.
Nach dem Quadratischen Gesetzt haben wir:
x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a
In unserem Fall ist:
a = 1
b = -1
c = -1
Substituieren wir die Werte in die Quadratische Formel ein:
x = [1 ± √(12 – 4(1)(-1))]/2(1)
x = [1 ± √(1 – (-4))]/2
x = [1 ± √(5)]/2
x = [1 ± √(25)]/2
x = [1 ± 5]/2
x = 6/2
x = 3
x = [1 ± 5]/2
x = -4/2
x = -2
Hence, the points of intersection are (-2, 3) and (3, -2).
Beispiel 2
Finde die Schnittpunkte der folgenden Funktionen:
f(x) = 3x2 + 6x + 5
g(x) = x2 + 2x + 3
Lösung:
Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir die x-Werte der beiden Funktionen gleich setzen und nach x auflösen.
f(x1) = g(x1)
3x21 + 6x1 + 5 = x21 + 2x1 + 3
3x2 + 6x + 5 – x2 – 2x – 3 = 0
3x2 – x2 + 6x – 2x + 5 – 3 = 0
2x2 + 4x + 2 = 0
Dies ist eine Quadratische Gleichung, die wir nach x auflösen können.
Nach dem Quadratischen Gesetzt haben wir:
x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a
In unserem Fall ist:
a = 2
b = 4
c = 2
Substituieren wir die Werte in die Quadratische Formel ein:
x = [4 ± √(16 – 8)]/4
x = [4 ± √(8)]/4
x = [4 ± √(64)]/4
x = [4 ± 8]/4
x = 12/4
x = 3
x = [4 ± 8]/4
x = -4/4
x = -1
Hence, the points of intersection are (-1, 3) and (3, -1).
Teste dich selbst!
Versuche die folgenden Aufgaben und überprüfe deine Lösungen mit den Antworten am Ende des Artikels.
