Eine Funktion f: X → Y heißt bijektiv (auch: eindeutig), wenn für alle Elemente y ∈ Y genau ein x ∈ X existiert, sodass f(x) = y gilt. Die folgende Abbildung verdeutlicht eine bijektive Funktion.
Funktionen, die nicht bijektiv sind, nennt man nicht-bijektiv. Die inverse Funktion einer bijektiven Funktion f ist ebenfalls bijektiv.
Beispiele
Die folgenden Beispiele sollen das Konzept der bijektiven Funktionen veranschaulichen.
Beispiel 1: Die Funktion f(x) = 2x ist bijektiv. Denn für alle Elemente y ∈ Y gibt es genau ein x ∈ X, sodass f(x) = y gilt. Betrachten wir zum Beispiel das Element y = 6. Für y = 6 gibt es genau ein x = 3, sodass f(x) = 2×3 = 6.
Beispiel 2: Die Funktion f: X → Y, wobei X = {1, 2, 3} und Y = {a, b, c}, mit f(1) = a, f(2) = b und f(3) = c ist ebenfalls bijektiv.
Beispiel 3: Die Funktion f: X → Y, wobei X = {1, 2, 3, 4} und Y = {a, b, c}, mit f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c und f(4) = a ist nicht bijektiv. Denn für das Element y = a gibt es mehr als ein x ∈ X, sodass f(x) = y gilt. Betrachten wir zum Beispiel das Element y = a. Für y = a gibt es x = 1 und x = 4, sodass f(1) = a und f(4) = a.
Aufgaben
Für die folgenden Aufgaben gilt:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Y = {a, b, c, d, e, f}
Finde eine Funktion f: X → Y, die bijektiv ist.
Lösung: f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d, f(5) = e und f(6) = f.
Finde eine Funktion f: X → Y, die nicht bijektiv ist.
Lösung: f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d, f(5) = e und f(6) = a.
