Was ist eine lineare Gleichung? Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, bei der sich die Variable (oder die Variablen) nur einmal in der Gleichung auftauchen. Wenn du eine Gleichung hast, in der die Variable zweimal oder öfter auftaucht, dann hast du keine lineare Gleichung.
Beispiel 1: 7x + 3 = 10 Das ist eine lineare Gleichung, weil sich die Variable x nur einmal in der Gleichung auftaucht.
Beispiel 2: 7x2 + 3x = 10 Das ist keine lineare Gleichung, weil sich die Variable x zweimal in der Gleichung auftaucht (einmal als x und einmal als x2).
Wie löst man lineare Gleichungen?
Es gibt drei Hauptverfahren, um lineare Gleichungen zu lösen:
Das Verfahren der Substitution
Das Verfahren der Elimination
Das Verfahren der Einsetzung
Das Verfahren der Substitution ist das einfachste Verfahren und funktioniert folgendermaßen:
Finde eine Gleichung, in der nur eine Variable auftaucht.
Löse diese Gleichung nach der Variable.
Substituiert die gefundene Lösung in die andere Gleichung.
Löse die neue Gleichung.
Beispiel: 4x + 7y = 19 x + 2y = 8
Lösung: 1. Löse die erste Gleichung nach x: 4x + 7y = 19 4x = 19 – 7y x = 19/4 – 7/4*y
2. Substituiert die gefundene Lösung in die zweite Gleichung: x + 2y = 8 19/4 – 7/4*y + 2y = 8 19/4 + 9/4*y = 8 9/4*y = 8 – 19/4 9/4*y = 32/4 – 76/4 9/4*y = -44/4 y = -44/9
3. Substituiert die gefundene Lösung in die erste Gleichung: 4x + 7y = 19 4x + 7*-44/9 = 19 4x – 308/9 = 19 4x = 19 + 308/9 4x = 401/9 x = 401/36
4. Die Lösung der Gleichungen ist: x = 401/36 y = -44/9
Das Verfahren der Elimination funktioniert folgendermaßen:
Multipliziere eine der Gleichungen mit einem geeigneten Faktor, damit sich in einer der beiden Gleichungen die Koeffizienten einer der Variablen (ohne die Variable selbst) aufheben.
Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen.
Löse die neue Gleichung.
Substituiert die gefundene Lösung in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen.
Löse die neue Gleichung.
Beispiel: 4x + 7y = 19 x + 2y = 8
Lösung: 1. Multipliziere die zweite Gleichung mit 4: 4*(x + 2y) = 4*8 4x + 8y = 32
2. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: 4x + 7y – (4x + 8y) = 19 – 32 -y = -13
3. Löse die neue Gleichung nach y: -y = -13 y = 13
4. Substituiert die gefundene Lösung in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (in diesem Fall in die zweite): x + 2*13 = 8 x + 26 = 8 x = 8 – 26 x = -18
5. Substituiert die gefundene Lösung in die erste Gleichung: 4*(-18) + 7*13 = 19 -72 + 91 = 19 19 = 19
Das Verfahren der Einsetzung ist eine Mischung aus Substitution und Elimination und funktioniert folgendermaßen:
Finde eine Gleichung, in der nur eine Variable auftaucht.
Löse diese Gleichung nach der Variable.
Substituiert die gefundene Lösung in die andere Gleichung.
Multipliziere eine der Gleichungen mit einem geeigneten Faktor, damit sich in einer der beiden Gleichungen die Koeffizienten einer der Variablen (ohne die Variable selbst) aufheben.
Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen.
Löse die neue Gleichung.
Beispiel: 4x + 7y = 19 x + 2y = 8
Lösung: 1. Löse die erste Gleichung nach x: 4x + 7y = 19 4x = 19 – 7y x = 19/4 – 7/4*y
2. Substituiert die gefundene Lösung in die zweite Gleichung: x + 2y = 8 19/4 – 7/4*y + 2y = 8 19/4 + 9/4*y = 8 9/4*y = 8 – 19/4 9/4*y = 32/4 – 76/4 9/4*y = -44/4 y = -44/9
3. Substituiert die gefundene Lösung in die erste Gleichung: 4x + 7y = 19 4x + 7*-44/9 = 19 4x – 308/9 = 19 4x = 19 + 308/9 4x = 401/9 x = 401/36
4. Die Lösung der Gleichungen ist: x = 401/36 y = -44/9
