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Quadratische Funktionen lösen
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die zu jedem Wert x in einem angegebenen Intervall den Wert f(x) berechnet. Die folgende quadratische Funktion wird als Standardform bezeichnet:
f(x) = ax2 + bx + c
Wenn du ein Problem mit einer quadratischen Funktion lösen willst, kannst du entweder die Quadratische Formel oder die Faktorisierungsmethode verwenden. Beide Methoden werden im Folgenden erläutert.
Die Quadratische Formel
Die Quadratische Formel kann verwendet werden, um die x-Werte einer quadratischen Funktion zu berechnen, die den Koeffizienten a, b und c kennt. Die Quadratische Formel lautet wie folgt:
x = -b ± √b2 – 4ac ⁄ 2a
Der Ausdruck unter der Wurzel (b2 – 4ac) wird als Diskriminante bezeichnet. Die Diskriminante bestimmt, ob die Quadratische Formel eine oder zwei Lösungen liefert.
- Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen für x.
- Wenn die Diskriminante null ist, gibt es eine doppelte Lösung für x.
- Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösung für x.
Die Faktorisierungsmethode
Die Faktorisierungsmethode kann nur dann angewendet werden, wenn die Koeffizienten a, b und c so gewählt werden können, dass sich die Standardform der quadratischen Funktion als Produkt zweier binomischer Ausdrücke darstellen lässt.
Die Standardform einer quadratischen Funktion kann in Produktform umgeschrieben werden, wenn die Koeffizienten a, b und c so gewählt werden, dass sich folgender Ausdruck ergibt:
f(x) = a(x – r)(x – s)
In diesem Ausdruck sind r und s die x-Werte der Quadratischen Funktion. Die Lösung der Quadratischen Funktion ist dann gegeben durch:
x = r + s
Beispiel 1: Eine quadratische Funktion in Standardform umwandeln
Wir möchten die folgende quadratische Funktion in Standardform umwandeln:
f(x) = 2x2 – 5x + 3
Berechne zunächst die Diskriminante:
b2 – 4ac = (-52) – 4(2)(3) = 25 – 24 = 1
Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen für x. Wir können nun die Standardform der quadratischen Funktion berechnen:
f(x) = 2(x – (-b + √b2 – 4ac ⁄ 2a))(x – (-b – √b2 – 4ac ⁄ 2a))
f(x) = 2(x – (-(-5) + √1 ⁄ 2(2)))(x – (-(-5) – √1 ⁄ 2(2)))
f(x) = 2(x – 2.5)(x – 0.5)
Die Lösung der Quadratischen Funktion ist dann gegeben durch:
x = 2.5 + 0.5 = 3
Beispiel 2: Eine quadratische Funktion in Standardform umwandeln
Wir möchten die folgende quadratische Funktion in Standardform umwandeln:
f(x) = -2x2 – x – 6
Berechne zunächst die Diskriminante:
b2 – 4ac = (-(-1)2) – 4(-2)(-6) = 1 + 48 = 49
Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen für x. Wir können nun die Standardform der quadratischen Funktion berechnen:
f(x) = -2(x – (-b + √b2 – 4ac ⁄ 2a))(x – (-b – √b2 – 4ac ⁄ 2a))
f(x) = -2(x – (-(-1) + √49 ⁄ 2(-2)))(x – (-(-1) – √49 ⁄ 2(-2)))
f(x) = -2(x – 7)(x + 3)
Die Lösung der Quadratischen Funktion ist dann gegeben durch:
x = 7 + 3 = 10
Beispiel 3: Eine quadratische Funktion in Standardform umwandeln
Wir möchten die folgende quadratische Funktion in Standardform umwandeln:
f(x) = -x2 – 6x – 5
Berechne zunächst die Diskriminante:
b2 – 4ac = (-(-6)2) – 4(-1)(-5) = 36 + 20 = 56
Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen für x. Wir können nun die Standardform der quadratischen Funktion berechnen:
f(x) = -(x – (-b + √b2 – 4ac ⁄ 2a))(x – (-b – √b2 – 4ac ⁄ 2a))
f(x) = -(x – (-(-6) + √56 ⁄ 2(-1)))(x – (-(-6) – √56 ⁄ 2(-1)))
f(x) = -(x – 4)(x + 7)
Die Lösung der Quadratischen Funktion ist dann gegeben durch:
x = 4 + 7 = 11
Beispiel 4: Eine quadratische Funktion in Standardform umwandeln
Wir möchten die folgende quadratische Funktion in Standardform umwandeln:
f(x) = 3x2 + x – 4
Berechne zunächst die Diskriminante:
b2 – 4ac = (12) – 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49
Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen für x. Wir können nun die Standardform der quadratischen Funktion berechnen:
f(x) = 3(x – (-b + √b2 – 4ac ⁄ 2a))(x – (-b – √b2 – 4ac ⁄ 2a))
f(x) = 3(x – (-1 + √49 ⁄ 2(3)))(x – (-1 – √49 ⁄ 2(3)))
f(x) = 3(x – 7)(x + 3)
Die Lösung der Quadratischen Funktion ist dann gegeben durch:
x = 7 + 3 = 10
Beispiel 5: Eine quadratische Funktion in Standardform umwandeln
Wir möchten die folgende quadratische Funktion in Standardform umwandeln:
f(x) = -4x2 – 2x + 5
Berechne zunächst die Diskriminante:
b2 – 4ac = (-(-2)2) – 4(-4)(5) = 4 + 80 = 84
Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen für x. Wir können nun die Standardform der quadratischen Funktion berechnen:
f(x) = -4(x – (-b + √b2 – 4ac ⁄ 2a))(x – (-b – √b2 – 4ac ⁄ 2a))
f(x) = -4(x – (-(-2) + √84 ⁄ 2(-4)))(x – (-(-2) – √84
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