Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung vom Grad 2, d.h. sie hat die Form
$ax^2+bx+c=0quad mit ane 0$
Eine solche Gleichung hat genau eine reelle Nullstelle. Dabei ist die Nullstelle nicht immer eindeutig bestimmt. Allerdings ist sie eindeutig bestimmt, wenn man die Diskriminante verwendet.
Diskriminante
Die Diskriminante ist ein Wert, der uns Aufschluss über die Lage der Nullstellen einer quadratischen Gleichung gibt. Die Diskriminante berechnet man mit folgender Formel:
$Delta=b^2-4ac$
Lage der Nullstellen
Die Lage der Nullstellen ist wie folgt definiert:
Wenn $Delta>0$, dann gibt es zwei verschiedene Nullstellen $x_1ne x_2$.
Wenn $Delta=0$, dann gibt es eine doppelte Nullstelle $x_1=x_2$.
Wenn $Delta<0$, dann gibt es keine Nullstelle.
Die Gleichung hat also genau dann eine reelle Lösung, wenn $Deltageq 0$ ist.
Berechnung der Nullstellen
Die Nullstellen einer quadratischen Gleichung berechnet man mit folgender Formel:
$x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{Delta}}{2a}$
Ist die Diskriminante $Delta=0$, so ist die rechte Seite der Gleichung eine rationale Zahl. In diesem Fall hat man keine Dezimalzahl als Lösung.
Ist die Diskriminante $Delta>0$, so ist die rechte Seite der Gleichung eine irrationale Zahl. In diesem Fall hat man keine reelle Lösung. Allerdings ist die rechte Seite der Gleichung mit Hilfe der Quadratwurzel berechenbar, so dass man auch in diesem Fall eine Lösung finden kann.
Aufgaben
Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichungen:
$2x^2-5x-3=0$
$x^2-4x+4=0$
$4x^2+1=0$
$x^2+x+1=0$
$5x^2+2x+3=0$
Lösungen
$Delta=25-4cdot 2cdot (-3)=25+24=49$
Die Diskriminante ist positiv, daher gibt es zwei Nullstellen:
