Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die miteinander multipliziert und addiert werden können. Die Multiplikation eines Vektors mit einem anderen Vektor ergibt einen neuen Vektor, der in den Vektorraum gehört. Die Addition zweier Vektoren aus dem Vektorraum ergibt ebenfalls einen neuen Vektor, der wiederum in den Vektorraum gehört.
Ein Vektorraum kann unendlich groß sein oder nur aus einem einzigen Vektor bestehen. Ein Vektorraum kann auch aus einer Menge von Vektoren bestehen, die nicht miteinander multipliziert oder addiert werden können. Es gibt also keine eindeutige Definition für einen Vektorraum.
Ein Vektorraum kann auch als abstrakter Raum bezeichnet werden, in dem Vektoren existieren. Dieser Raum hat keine physikalische Bedeutung, sondern dient nur als mathematischer Begriff.
Beispiel:
Nehmen wir an, wir haben den Vektorraum R3. Dieser Vektorraum besteht aus allen möglichen Vektoren mit drei Komponenten. Ein Vektor in diesem Raum könnte beispielsweise (1,0,0) sein. Dieser Vektor hat also nur eine Komponente, die ungleich Null ist.
Ein anderer Vektor in diesem Raum könnte (0,1,0) sein. Dieser Vektor hat nur eine Komponente, die ungleich Null ist. Wir können diesen Vektor mit dem ersten Vektor multiplizieren, um einen neuen Vektor zu erhalten. Die Multiplikation von (1,0,0) mit (0,1,0) ergibt den Vektor (0,0,0). Dieser Vektor ist wieder in den Vektorraum R3 eingeschlossen.
Wir können auch zwei Vektoren aus dem Vektorraum R3 addieren. Nehmen wir an, wir haben die Vektoren (1,0,0) und (0,1,0). Wenn wir diese beiden Vektoren addieren, erhalten wir den Vektor (1,1,0). Dieser Vektor ist wieder in den Vektorraum R3 eingeschlossen.
Aufgabe:
Finde einen Vektor, der nicht in den Vektorraum R3 gehört.
Lösung: (2,0,0) ist ein Vektor, der nicht in den Vektorraum R3 gehört.
Aufgabe:
Finde einen Vektor, der in den Vektorraum R3 gehört.
Lösung: (1,2,3) ist ein Vektor, der in den Vektorraum R3 gehört.
Aufgabe:
Finde einen Vektor, der in den Vektorraum R2 gehört.
Lösung: (1,0) ist ein Vektor, der in den Vektorraum R2 gehört.
Aufgabe:
Finde zwei Vektoren, die nicht in den Vektorraum R2 gehören.
Lösung: (1,1) und (2,2) sind zwei Vektoren, die nicht in den Vektorraum R2 gehören.
Aufgabe:
Finde zwei Vektoren, die in den Vektorraum R2 gehören.
Lösung: (1,0) und (0,1) sind zwei Vektoren, die in den Vektorraum R2 gehören.
