In diesem Artikel lernst du, wie du verschiedene Funktionen ableiten kannst. Dazu gehören lineare, konstanten, kubischen, Quadrat, Wurzel, Potenz- und Sinusfunktionen. Es gibt verschiedene Regeln, die du befolgen musst, aber keine Sorge, wir werden dir alles Schritt für Schritt erklären. Zum Schluss findest du 5 Aufgaben mit Lösungen, damit du dein neues Wissen gleich testen kannst.
Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die in der Form f(x) = mx + b ist. m ist der Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Die Ableitung einer linearen Funktion ist immer konstant und gleich der Steigung m. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 3x + 2.
Die Steigung der Funktion ist 3 und der y-Achsenabschnitt ist 2. Die Ableitung ist also 3x + 2 = 3.
Konstante Funktionen
Eine konstante Funktion ist eine Funktion, die immer denselben Wert für alle x-Werte hat. Eine konstante Funktion hat immer eine Ableitung von 0. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 5.
Die Ableitung ist 0, weil sich der Wert der Funktion für alle x-Werte nicht ändert.
Kubische Funktionen
Eine kubische Funktion ist eine Funktion, die in der Form f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ist. Die Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine quadratische Funktion. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x + 1.
Die Ableitung ist 9x2 + 4x + 5.
Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die in der Form f(x) = ax2 + bx + c ist. Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist immer eine lineare Funktion. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 2x2 + 3x + 1.
Die Ableitung ist 4x + 3.
Wurzelfunktionen
Eine Wurzelfunktion ist eine Funktion, die in der Form f(x) = √x ist. Die Ableitung einer Wurzelfunktion ist immer eine konstanten Funktion. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = √x.
Die Ableitung ist 1/2*x-1/2.
Potenzfunktionen
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die in der Form f(x) = xn ist. n ist eine ganze Zahl und x ist eine reelle Zahl. Die Ableitung einer Potenzfunktion ist immer eine konstanten Funktion. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = x3.
Die Ableitung ist 3x2.
Sinusfunktionen
Eine Sinusfunktion ist eine Funktion, die in der Form f(x) = sin(x) ist. Die Ableitung einer Sinusfunktion ist immer eine kosinusfunktion. Betrachte folgendes Beispiel:
Beispiel: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x).
Die Ableitung ist cos(x).
5 Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = x4 + 3x3 – 2x2 + 5x + 1.
Lösung: Die Ableitung ist 4x3 + 9x2 – 4x + 5.
Aufgabe 2: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 5x3 + 3x2 + 7x + 1.
Lösung: Die Ableitung ist 15x2 + 6x + 7.
Aufgabe 3: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 8x4 – 4x2 + 2.
Lösung: Die Ableitung ist 32x3 – 8x.
Aufgabe 4: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = √x3.
Lösung: Die Ableitung ist 3/2*x-2/3.
Aufgabe 5: Finde die Ableitung der Funktion f(x) = cos(x2).
