Ableitung Tangens | Übungen und Aufgaben mit Lösungen

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Ableitung Tangens

Der Tangens einer Zahl x ist definiert als tan(x) = sin(x) / cos(x). Die Ableitung von tan(x) ist daher:

tan'(x) = (cos(x) * sin'(x)) / (cos(x))² – (sin(x) * cos'(x)) / (cos(x))² =

= (cos(x) * cos(x)) / (cos(x))² – (sin(x) * -sin(x)) / (cos(x))² =

tan'(x) = 1 / (cos(x))² – (sin(x))² / (cos(x))² = (1 – (sin(x))²) / (cos(x))²

Aufgabe 1

Berechne tan'(x) für x = pi / 4.

Lösung: tan'(pi / 4) = (1 – (sin(pi / 4))²) / (cos(pi / 4))² = (1 – 1 / 2) / (cos(pi / 4))² = (1 / 2) / (cos(pi / 4))² = 1 / (1 + (sin(pi / 4))²) = 1 / (1 + 1 / 4) = 4 / 5

Aufgabe 2

Berechne tan'(x) für x = -pi / 4.

Lösung: tan'(-pi / 4) = (1 – (sin(-pi / 4))²) / (cos(-pi / 4))² = (1 – 1 / 2) / (cos(-pi / 4))² = (1 / 2) / (cos(-pi / 4))² = 1 / (1 + (sin(-pi / 4))²) = 1 / (1 + 1 / 4) = 4 / 5

Aufgabe 3

Berechne tan'(x) für x = 0.

Lösung: tan'(0) = (1 – (sin(0))²) / (cos(0))² = (1 – 0) / (cos(0))² = 1 / (cos(0))² = 1

Aufgabe 4

Berechne tan'(x) für x = -pi / 2.

Lösung: tan'(-pi / 2) = (1 – (sin(-pi / 2))²) / (cos(-pi / 2))² = (1 – 1) / (cos(-pi / 2))² = 0

Aufgabe 5

Berechne tan'(x) für x = pi / 2.

Lösung: tan'(pi / 2) = (1 – (sin(pi / 2))²) / (cos(pi / 2))² = (1 – 1) / (cos(pi / 2))² = 0

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