Die Kettenregel ist ein wichtiges Werkzeug, um Ableitungen zu berechnen. Die Regel besagt, dass die Ableitung einer Funktion, die die Ausgabe einer anderen Funktion ist, gleich der Produktregel entspricht. Dies bedeutet, dass die Ableitung der Ausgabefunktion die Ableitung der Eingabefunktion multipliziert mit der Ableitung der Funktion, die die Eingabefunktion transformiert.
Im Falle der Ableitung der Tangensfunktion mit der Kettenregel ist die Eingabefunktion die Ableitung der Funktion, die x transformiert, und die Ausgabefunktion ist die Ableitung der Tangensfunktion.
Die Tangensfunktion ist definiert als die Division von Sinus und Cosinus. Wenn wir also die Ableitung der Tangensfunktion berechnen wollen, müssen wir zuerst die Ableitungen von Sinus und Cosinus berechnen und dann die Quotientenregel anwenden.
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Cosinusfunktion und die Ableitung der Cosinusfunktion ist die Negative der Sinusfunktion. Dies bedeutet, dass die Ableitung der Tangensfunktion gleich der Ableitung der Sinusfunktion dividiert durch die Ableitung der Cosinusfunktion ist.
Wenn wir also die Kettenregel anwenden, erhalten wir:
Ableitung der Tangensfunktion = Ableitung der Sinusfunktion / Ableitung der Cosinusfunktion
Da wir wissen, dass die Ableitung der Sinusfunktion gleich der Cosinusfunktion ist und die Ableitung der Cosinusfunktion gleich der Negativen der Sinusfunktion, können wir diese Gleichung weiter vereinfachen:
Ableitung der Tangensfunktion = Cosinusfunktion / (- Sinusfunktion)
Diese Gleichung kann weiter vereinfacht werden, indem man die Cosinusfunktion und die Sinusfunktion kürzt:
Ableitung der Tangensfunktion = 1 / (- 1)
Die letzte Gleichung kann noch weiter vereinfacht werden, wenn man die 1 durch die -1 teilt:
Ableitung der Tangensfunktion = -1
Dies ist die vereinfachte Ableitung der Tangensfunktion. Wenn wir diese Ableitung anwenden wollen, müssen wir nur den Tangens von x berechnen und diesen Wert mit -1 multiplizieren.
Beispiele
Lass uns einige Beispiele sehen, um zu verstehen, wie die Kettenregel angewendet wird.
Angenommen, wir wollen die Ableitung der Funktion f(x) = 3x2 + 5x + 2 berechnen. Diese Funktion ist die Ausgabe einer anderen Funktion, nämlich der Quadratfunktion. Wir können also die Kettenregel anwenden.
Wir wissen, dass die Ableitung der Quadratfunktion die 2x ist. Dies bedeutet, dass die Ableitung der Funktion f(x) gleich der 2x multipliziert mit der Ableitung der Quadratfunktion ist.
Die Ableitung der Quadratfunktion ist die 2x, also ist die Ableitung der Funktion f(x) gleich der 2x multipliziert mit 2x. Dies kann weiter vereinfacht werden zu 6x2 + 5.
Wir können diese Gleichung noch weiter vereinfachen, indem wir x durch 3 teilen. Dies gibt uns 2x2 + 5/3.
Wenn wir also die Ableitung einer Funktion berechnen wollen, die die Ausgabe einer anderen Funktion ist, können wir die Kettenregel anwenden. Wir müssen nur die Ableitung der Funktion berechnen, die die Eingabefunktion ist, und diese mit der Ableitung der Funktion multiplizieren, die die Eingabefunktion transformiert.
Aufgaben
Versuche die folgenden Aufgaben, um dein Wissen über die Kettenregel zu testen.
1. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x2 + 5x + 2.
2. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (4x3 + 2x) / (3x2 – 5).
3. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e2x + cos(3x).
4. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (5x4 – 2x2 + 1)1/2.
5. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin-1(x).
Lösungen
1. Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x2 + 5x + 2 ist 6x2 + 5.
2. Die Ableitung der Funktion f(x) = (4x3 + 2x) / (3x2 – 5) ist (12x2 + 2) / (3x2 – 5) – (8x3 + 2x) / (3x2 – 5)2.
3. Die Ableitung der Funktion f(x) = e2x + cos(3x) ist 2e2x – 3sin(3x).
4. Die Ableitung der Funktion f(x) = (5x4 – 2x2 + 1)1/2 ist (20x3 – 4x) / (5x4 – 2x2 + 1)1/2.
5. Die Ableitung der Funktion f(x) = sin-1(x) ist 1 / (1 – x2)1/2.
