Das folgende Kapitel soll eine Einführung in die Ableitung von x geben. Wir werden einige Beispiele durchgehen und anschließend 5 Aufgaben mit Lösungen zur Ableitung von x lösen.
Ableitung von x
Die Ableitung von x gibt an, wie sich die Funktion x im Verhältnis zum Zeitpunkt t verändert. Die Ableitung von x ist also eine Messgröße für die Änderungsrate der Funktion x.
Beispiel 1
Betrachten wir folgendes Beispiel: Die Funktion x beschreibt die Position eines Autos, das mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Die Ableitung von x gibt also die Geschwindigkeit des Autos an.
Beispiel 2
Betrachten wir ein weiteres Beispiel: Die Funktion x beschreibt die Temperatur eines Heizkörpers, der gerade eingeschaltet wurde. Die Ableitung von x gibt also die Änderungsrate der Temperatur des Heizkörpers an.
Aufgabe 1
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen:
a) x(t) = 3t2 + 2t + 1
b) x(t) = 5t4 – 3t2 + 2
c) x(t) = e2t + cos(t)
Lösung
a) Die Ableitung von x(t) = 3t2 + 2t + 1 ist x'(t) = 6t + 2.
b) Die Ableitung von x(t) = 5t4 – 3t2 + 2 ist x'(t) = 20t3 – 6t.
c) Die Ableitung von x(t) = e2t + cos(t) ist x'(t) = 2e2t – sin(t).
Aufgabe 2
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen:
a) x(t) = cos(2t) + sin(3t)
b) x(t) = e-t * cos(t)
c) x(t) = t * e-t
Lösung
a) Die Ableitung von x(t) = cos(2t) + sin(3t) ist x'(t) = -2sin(2t) + 3cos(3t).
b) Die Ableitung von x(t) = e-t * cos(t) ist x'(t) = -e-t * cos(t) – e-t * sin(t).
c) Die Ableitung von x(t) = t * e-t ist x'(t) = e-t – t * e-t.
Aufgabe 3
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen:
a) x(t) = sin(t) * cos(t)
b) x(t) = et * sin(t)
c) x(t) = t * et
Lösung
a) Die Ableitung von x(t) = sin(t) * cos(t) ist x'(t) = cos2(t) – sin2(t).
b) Die Ableitung von x(t) = et * sin(t) ist x'(t) = et * cos(t) + et * sin(t).
c) Die Ableitung von x(t) = t * et ist x'(t) = et + t * et.
Aufgabe 4
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen:
a) x(t) = sin(t2)
b) x(t) = cos(t2)
c) x(t) = et2
Lösung
a) Die Ableitung von x(t) = sin(t2) ist x'(t) = 2t*cos(t2).
b) Die Ableitung von x(t) = cos(t2) ist x'(t) = -2t*sin(t2).
c) Die Ableitung von x(t) = et2 ist x'(t) = 2t*et2.
Aufgabe 5
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen:
a) x(t) = t * sin(t)
b) x(t) = t * cos(t)
c) x(t) = t * et
Lösung
a) Die Ableitung von x(t) = t * sin(t) ist x'(t) = sin(t) + t * cos(t).
b) Die Ableitung von x(t) = t * cos(t) ist x'(t) = -t * sin(t) + cos(t).
c) Die Ableitung von x(t) = t * et ist x'(t) = et + t * et.
