In der Mathematik, insbesondere der Analysis, ist die Ableitung einer Funktion ein Maß für die Steigung der Tangente an einer beliebigen Stelle der Funktionsgraphen. Die Ableitung einer Funktion ist eine andere Funktion, die für jeden Punkt der ursprünglichen Funktion einen Wert berechnet, der die Steigung der Tangentenlinie an diesem Punkt angibt.
Die Ableitung einer Funktion kann man auf zwei verschiedene Arten interpretieren:
Als ein Limit: Wenn man den Graph einer Funktion betrachtet, kann man sehen, dass die Steigung der Tangente an einem Punkt immer näher an der Steigung der Funktion selbst liegt, je kleiner der Unterschied zwischen den abscissenwerte der betrachteten Punkte ist. Die Ableitung einer Funktion kann als ein Limit dieser Steigungen interpretiert werden.
Als eine Funktion: Die Ableitung einer Funktion kann auch als eine neue Funktion interpretiert werden, die für jeden Punkt der ursprünglichen Funktion die Steigung der Tangente an diesem Punkt berechnet.
Die Ableitung einer Funktion kann auf verschiedene Arten definiert werden. In diesem Artikel werden zwei der häufigsten Definitionen verwendet: die Differentialquotient-Definition und die Ableitungsregel-Definition.
Differentialquotient-Definition
Die Differentialquotient-Definition der Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x0 lautet:
f'(x0) = limh->0 [f(x0+h)-f(x0)]/h
Diese Definition sagt aus, dass die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 der Grenzwert der Tangentensteigung ist, wenn der Unterschied zwischen den x-Werten der betrachteten Punkte unendlich klein wird. Wenn man diese Definition verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, wird dies als Differentiation durch Näherung bezeichnet.
Ableitungsregel-Definition
Die Ableitungsregel-Definition der Ableitung einer Funktion lautet:
f'(x) = limh->0 [f(x+h)-f(x)]/h
Diese Definition sagt aus, dass die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x der Grenzwert der Tangentensteigung ist, wenn der Unterschied zwischen den x-Werten der betrachteten Punkte unendlich klein wird. Wenn man diese Definition verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, wird dies als Differentiation durch Näherung bezeichnet.
Ableitungsregeln
Es gibt verschiedene Ableitungsregeln, die man verwenden kann, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen. Die häufigsten Ableitungsregeln sind:
Produktregel: Die Ableitung eines Produkts von Funktionen ist gleich dem Produkt der Ableitungen der einzelnen Funktionen.
Quotientenregel: Die Ableitung eines Quotienten von Funktionen ist gleich dem Quotienten der Ableitungen der einzelnen Funktionen.
Chain Rule: Die Ableitung einer Kompozition von Funktionen ist gleich dem Produkt der Ableitungen der einzelnen Funktionen.
Diese Regeln können verwendet werden, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, wenn die Ableitung einer oder mehrerer der Komponentenfunktionen bekannt ist. Zum Beispiel ist die Ableitung einer Summe oder Differenz von Funktionen gleich der Summe oder Differenz der Ableitungen der einzelnen Funktionen.
Beispiele
Angenommen, wir wollen die Ableitung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x = 1 berechnen. Wir können die Differentialquotient-Definition verwenden:
f'(1) = limh->0 [f(1+h)-f(1)]/h
Wenn wir die Funktion f(x) = x2 auswerten, erhalten wir:
f'(1) = limh->0 [f(1+h)-f(1)]/h
= limh->0 [(1+h)2-1]/h
= limh->0 [1+2h+h2-1]/h
= limh->0 [2h+h2]/h
= limh->0 [2+h]
= 2
Wir können auch die Ableitungsregel-Definition verwenden:
f'(x) = limh->0 [f(x+h)-f(x)]/h
Wenn wir die Funktion f(x) = x2 auswerten, erhalten wir:
f'(1) = limh->0 [f(1+h)-f(1)]/h
= limh->0 [(1+h)2-1]/h
= limh->0 [1+2h+h2-1]/h
= limh->0 [2h+h2]/h
= limh->0 [2+h]
= 2
Wir können auch die Produktregel verwenden, um die Ableitung dieser Funktion zu berechnen:
f(x) = x2 = x*x
f'(x) = 2x
Wenn wir x = 1 einsetzen, erhalten wir:
f'(1) = 2x
= 2*1
= 2
Aufgaben
1. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x2-2x+5 an der Stelle x = 1.
2. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x an der Stelle x = 1.
3. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (x-1)/(x+1) an der Stelle x = 1.
4. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sqrt(x) an der Stelle x = 1.
5. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) an der Stelle x = 0.
