Herleitung der Tangente | Aufgaben und Übungen mit Lösungen

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In diesem Artikel werden wir die Tangente an einer Kurve herleiten. Dazu werden wir zuerst einige Begriffe definieren und anschließend einige Aufgaben zur Herleitung der Tangente lösen.

Definition 1:

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve an einem bestimmten Punkt tangiert.

Definition 2:

Der Tangentenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Tangentengeraden steht und in Richtung der Kurve zeigt.

Aufgaben

Aufgabe 1

Finde die Tangente an die Kurve $y = x^2$ im Punkt $P(1,1)$

Lösung

Wir wissen, dass die Tangente im Punkt $P$ die Steigung der Kurve $m$ hat. Die Steigung $m$ der Kurve $y = x^2$ im Punkt $P$ können wir mit Hilfe der Ableitung berechnen:

$m = frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

Der Tangentenvektor im Punkt $P$ ist also:

$vec{t} = <2, -1>$

Die Tangentengleichung lautet also:

$y – y_1 = m(x – x_1)$ $y – 1 = 2(x – 1)$ $y = 2x – 1$

Aufgabe 2

Finde die Tangente an die Kurve $y = frac{1}{x}$ im Punkt $P(2, frac{1}{2})$

Lösung

Wir wissen, dass die Tangente im Punkt $P$ die Steigung der Kurve $m$ hat. Die Steigung $m$ der Kurve $y = frac{1}{x}$ im Punkt $P$ können wir mit Hilfe der Ableitung berechnen:

$m = frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(frac{1}{x}) = frac{-1}{x^2}$

Der Tangentenvektor im Punkt $P$ ist also:

$vec{t} = $

Die Tangentengleichung lautet also:

$y – y_1 = m(x – x_1)$ $y – frac{1}{2} = frac{-1}{4}(x – 2)$ $y = frac{-1}{4}x + frac{1}{2}$

Aufgabe 3

Finde die Tangente an die Kurve $y = e^{-x}$ im Punkt $P(0,1)$

Lösung

Wir wissen, dass die Tangente im Punkt $P$ die Steigung der Kurve $m$ hat. Die Steigung $m$ der Kurve $y = e^{-x}$ im Punkt $P$ können wir mit Hilfe der Ableitung berechnen:

$m = frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(e^{-x}) = e^{-x}(-1) = -e^{-x}$

Der Tangentenvektor im Punkt $P$ ist also:

$vec{t} = <0, -1>$

Die Tangentengleichung lautet also:

$y – y_1 = m(x – x_1)$ $y – 1 = -1(x – 0)$ $y = -x + 1$

Aufgabe 4

Finde die Tangente an die Kurve $y = sin(x)$ im Punkt $P(frac{pi}{2}, 1)$

Lösung

Wir wissen, dass die Tangente im Punkt $P$ die Steigung der Kurve $m$ hat. Die Steigung $m$ der Kurve $y = sin(x)$ im Punkt $P$ können wir mit Hilfe der Ableitung berechnen:

$m = frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(sin(x)) = cos(x)$

Der Tangentenvektor im Punkt $P$ ist also:

$vec{t} = <0, cos(frac{pi}{2})>$

Die Tangentengleichung lautet also:

$y – y_1 = m(x – x_1)$ $y – 1 = cos(frac{pi}{2})(x – frac{pi}{2})$ $y = cos(frac{pi}{2})x + (1 – cos(frac{pi}{2})frac{pi}{2})$

Aufgabe 5

Finde die Tangente an die Kurve $y = ln(x)$ im Punkt $P(e, 1)$

Lösung

Wir wissen, dass die Tangente im Punkt $P$ die Steigung der Kurve $m$ hat. Die Steigung $m$ der Kurve $y = ln(x)$ im Punkt $P$ können wir mit Hilfe der Ableitung berechnen:

$m = frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(ln(x)) = frac{1}{x}$

Der Tangentenvektor im Punkt $P$ ist also:

$vec{t} = $

Die Tangentengleichung lautet also:

$y – y_1 = m(x – x_1)$ $y – 1 = frac{1}{e}(x – e)$ $y = frac{1}{e}x + (1 – frac{1}{e}e)$

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