Die Intergationsregeln sind ein wichtiger Bestandteil der Analysis. Sie geben an, wie man Integrale berechnet. Folgende Regeln sollten Sie sich einprägen:
1. Regel: Integrale mit konstanten Funktionen
Wenn f eine konstante Funktion ist, gilt:
∫cf(x)dx=c∫f(x)dx
Beispiel:
Berechnen Sie ∫5f(x)dx.
Lösung:
Wir haben c=5 und f(x)=x. Also ist die Lösung:
∫5f(x)dx=5∫f(x)dx=5x
2. Regel: Integrale mit potenziellen Funktionen
Wenn f eine potenzielle Funktion ist, gilt:
∫cf(x)dx=c∫f(x)dx
Beispiel:
Berechnen Sie ∫3x3f(x)dx.
Lösung:
Wir haben c=3 und f(x)=x3. Also ist die Lösung:
∫3x3f(x)dx=3∫x3f(x)dx=3×4
3. Regel: Integrale mit linearen Funktionen
Wenn f eine lineare Funktion ist, gilt:
∫cf(x)dx=c∫f(x)dx
Beispiel:
Berechnen Sie ∫2x+3f(x)dx.
Lösung:
Wir haben c=2 und f(x)=x+3. Also ist die Lösung:
∫2x+3f(x)dx=2∫x+3f(x)dx=2(x+3)
4. Regel: Integrale mit polynomischen Funktionen
Wenn f eine polynomische Funktion ist, gilt:
∫cf(x)dx=c∫f(x)dx
Beispiel:
Berechnen Sie ∫4×3-2x+5f(x)dx.
Lösung:
Wir haben c=4 und f(x)=x3-2x+5. Also ist die Lösung:
∫4×3-2x+5f(x)dx=4∫x3-2x+5f(x)dx=4(x4-2×2+5x)
5. Regel: Integrale mit rationalen Funktionen
Wenn f eine rationale Funktion ist, gilt:
∫cf(x)dx=c∫f(x)dx
Beispiel:
Berechnen Sie ∫2×2+3x+4f(x)dx.
Lösung:
Wir haben c=2 und f(x)=x2+3x+4. Also ist die Lösung:
∫2×2+3x+4f(x)dx=2∫x2+3x+4f(x)dx=2(x3+3×2+4x)
Aufgaben
1. Berechnen Sie ∫5x+2dx.
Lösung:
Wir haben c=5 und f(x)=x+2. Also ist die Lösung:
∫5x+2dx=5∫x+2dx=5(x+2)
2. Berechnen Sie ∫-3x+1dx.
Lösung:
Wir haben c=-3 und f(x)=x+1. Also ist die Lösung:
∫-3x+1dx=-3∫x+1dx=-3(x+1)
3. Berechnen Sie ∫4×3+3×2+2x+1dx.
Lösung:
Wir haben c=4 und f(x)=x3+3×2+2x+1. Also ist die Lösung:
∫4×3+3×2+2x+1dx=4∫x3+3×2+2x+1dx=4(x4+3×3+2×2+x)
4. Berechnen Sie ∫-6×5+5×4-4×3+3×2-2x+1dx.
Lösung:
Wir haben c=-6 und f(x)=x5+5×4-4×3+3×2-2x+1. Also ist die Lösung:
