Der Mittelwertsatz der Integralrechnung ist ein Satz der Mathematik, der eine Verbindung zwischen dem Integral einer Funktion und dem Wert des Mittelwerts der Funktion herstellt. Man kann ihn als eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung ansehen.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung lautet:
Für eine beliebige Funktion f mit konstanter Lebesgue-Stieltjes-Integrabilitätsnorm auf einem geschlossenen und beschränkten Intervall [a,b] gilt:
Beispiel 1
Betrachten Sie die Funktion auf dem Intervall . Wir berechnen den Integralmittelwert der Funktion:
Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung erhalten wir:
Da bereits bekannt ist, können wir es einsetzen und erhalten:
Nun können wir den Integralmittelwert berechnen:
Da ist, erhalten wir:
Beispiel 2
Betrachten Sie die Funktion auf dem Intervall . Wir berechnen den Integralmittelwert der Funktion:
Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung erhalten wir:
Da ist, können wir es einsetzen und erhalten:
Nun können wir den Integralmittelwert berechnen:
Da ist, erhalten wir:
Aufgabe 1
Betrachten Sie die Funktion auf dem Intervall . Berechnen Sie den Integralmittelwert der Funktion.
Lösung
Wir berechnen den Integralmittelwert der Funktion:
Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung erhalten wir:
