Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion. Es basiert auf der Taylorreihe und nutzt die Ableitungen der Funktion, um sich der Nullstelle annähernd zu nähern.
Funktionsableitungen
Die erste Ableitung einer Funktion gibt an, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn sich die Variablen ändern. Zum Beispiel ist die erste Ableitung von f(x)=x2 die Funktion f‚(x)=2x. Die zweite Ableitung einer Funktion gibt an, wie sich die erste Ableitung der Funktion ändert, wenn sich die Variablen ändern. Zum Beispiel ist die zweite Ableitung von f(x)=x2 die Funktion f“(x)=2.
Anwendung des Newton-Verfahrens
Das Newton-Verfahren wird angewendet, indem zunächst ein Schätzwert x0 für die Nullstelle gewählt wird. Dann wird die folgende Formel angewendet, um einen neuen Schätzwert x1 zu bestimmen:
x1=x0–f(x0)/f‚(x0)
Dieser Prozess wird wiederholt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Beispiel
Betrachten wir die Funktion f(x)=x2-2. Wir wollen die Nullstelle dieser Funktion mit dem Newton-Verfahren bestimmen. Wir wählen einen Schätzwert x0=1 für die Nullstelle. Dann berechnen wir den neuen Schätzwert x1 wie folgt:
x1=1-f(1)/f‚(1)
=1-(1-2)/2
=1/2
Wir berechnen den neuen Schätzwert x2 wie folgt:
x2=1/2-f(1/2)/f‚(1/2)
=1/2-(1/2-2)/2
=1/4
Und so weiter. Nach ein paar Iterationen erreichen wir die Näherung x=1.41421356… für die Nullstelle der Funktion.
Aufgaben
1. Finde die Nullstellen der folgenden Funktionen mit dem Newton-Verfahren:
a) f(x)=x3+2x2-5
b) f(x)=ex+x
c) f(x)=sin(x)
d) f(x,y)=x2+y2-4
e) f(x,y,z)=x2+y2+z2-5
2. Finde die Nullstellen der folgenden Funktionen mit dem Newton-Verfahren:
a) f(x)=x4-4x2+4
b) f(x)=ex–xlog(4)
c) f(x)=sin(x)-x
d) f(x,y)=x3–y2+1
e) f(x,y,z)=x2–y2+z2-3
3. Finde die Nullstellen der folgenden Funktionen mit dem Newton-Verfahren:
a) f(x)=x5+4x4-5x2+2
b) f(x)=ex+x2
c) f(x)=sin(x)-x2
d) f(x,y)=x4+y4-1
e) f(x,y,z)=x2+y2–z2-1
4. Finde die Nullstellen der folgenden Funktionen mit dem Newton-Verfahren:
a) f(x)=x6-5x4+6x2-1
b) f(x)=ex–x3
c) f(x)=sin(x)-x3
d) f(x,y)=x5–y4+1
e) f(x,y,z)=x2+y2+z2-1
5. Finde die Nullstellen der folgenden Funktionen mit dem Newton-Verfahren:
