Produktregel | Aufgaben und Übungen mit Lösungen

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Produktregel

Die Produktregel ist ein Satz in der Differential- und Integralrechnung. Sie besagt, dass der Ableitungsoperator (der Differentialquotient) mit dem Multiplikationsoperator verknüpft ist.

Beispiel:

Wenn wir die Ableitung von f(x)g(x) berechnen wollen, können wir dies mit der Produktregel machen:

f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Das bedeutet, dass wir die Ableitung von f(x) nehmen und g(x) dabei unberührt lassen, die Ableitung von g(x) nehmen und f(x) dabei unberührt lassen und dann die beiden Ergebnisse addieren.

Aufgabe 1

Berechne die Ableitung von f(x) = 3x² + 4x – 5.

Lösung 1

3 * 2 * x¹ + 4 * 1 * x⁰ – 5 * 0

6x + 4 – 0

6x + 4

Aufgabe 2

Berechne die Ableitung von g(x) = (5x² – 2x + 3) / (x – 1).

Lösung 2

(5 * 2 * x¹ – 2 * 1 * x⁰ + 3 * 0) / (x – 1)² + (5x² – 2x + 3) * (0 – 1) / (x – 1)²

10x / (x – 1)² + (-2x + 3) / (x – 1)²

(10x – 2x + 3) / (x – 1)²

(8x + 3) / (x – 1)²

Aufgabe 3

Berechne die Ableitung von h(x) = (x² + 1) / (x + 1).

Lösung 3

(2 * x¹ + 0) / (x + 1)² + (x² + 1) * (-1) / (x + 1)²

2x / (x + 1)² + (-x² – 1) / (x + 1)²

(2x – x² – 1) / (x + 1)²

Aufgabe 4

Berechne die Ableitung von f(x)g(x) wenn f(x) = 2x² – 1 und g(x) = 3x + 5.

Lösung 4

2 * 2 * x¹ * (3x + 5) + (2x² – 1) * 3 * x¹

4x * (3x + 5) + (2x² – 1) * 3

(12x² + 20x) + (6x² – 3)

12x² + 20x + 6x² – 3

18x² + 20x – 3

Aufgabe 5

Berechne die Ableitung von (2x² + 3x – 5) / (4x² – 2).

Lösung 5

(2 * 2 * x¹ + 3 * 1 * x⁰ – 5 * 0) / (4 * 2 * x¹ – 0) + (2x² + 3x – 5) * (-2) / (4x² – 2)²

4x / (4x² – 2) + (2x² + 3x – 5) * (-2) / (4x² – 2)²

(4x – 2x² – 3x + 5) / (4x² – 2)²

(-x² – 3x + 5) / (4x² – 2)²

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