Die Kettenregel ist ein wichtiges Werkzeug, um Funktionen zu differentieren, die komplexer sind als die einfachen Funktionen, die wir bisher kennengelernt haben. Die Kettenregel erlaubt es uns, die Ableitung einer Funktion zu finden, die den Ergebnissen einer anderen Funktion entspricht. Die Ableitung einer solchen Funktion wird als Kompositionsfunktion bezeichnet.
Betrachten wir zum Beispiel die folgende Funktion:
f(x) = (g o h)(x) = g(h(x))
Wir können die Ableitung dieser Funktion finden, indem wir die Kettenregel anwenden:
f ‚(x) = (g ‚o h)(x) + (g o h ‚)(x)
In Worten ausgedrückt bedeutet dies, dass wir die Ableitungen von g(x) und h(x) finden müssen und diese Ergebnisse dann miteinander multiplizieren. Dies ist eine sehr mächtige Methode, weil wir jetzt in der Lage sind, die Ableitung einer Funktion zu finden, die das Ergebnis einer anderen Funktion ist. Wir werden diese Methode später noch einmal genauer betrachten.
Ableitung von Sinus mit Kettenregel
Wir können die Kettenregel auch verwenden, um die Ableitung von sin(x) zu finden. Beachten Sie, dass wir die Ableitung einer Kompositionsfunktion finden, wenn wir die Ableitungen von f(x) und g(x) finden und diese Ergebnisse dann miteinander multiplizieren. In unserem Fall ist f(x) die Sinusfunktion und g(x) ist die Cosinusfunktion. Dies bedeutet, dass wir die Ableitungen von sin(x) und cos(x) finden müssen und diese Ergebnisse dann miteinander multiplizieren.
Wir haben bereits gelernt, wie wir die Ableitung der Cosinusfunktion finden können, und wir wissen, dass sie -sin(x) ist. Dies bedeutet, dass wir nur die Ableitung von sin(x) finden müssen. Wir können dies tun, indem wir die Kettenregel anwenden:
f ‚(x) = (g ‚o h)(x) + (g o h ‚)(x)
In unserem Fall ist f(x) die Sinusfunktion, g(x) ist die Cosinusfunktion und h(x) ist die Funktion, die wir differentieren möchten. Dies bedeutet, dass wir die Ableitungen von sin(x) und cos(x) finden und diese Ergebnisse dann miteinander multiplizieren. Wir wissen bereits, dass die Ableitung der Cosinusfunktion -sin(x) ist, und wir können die Ableitung der Sinusfunktion leicht finden, indem wir die Ableitung der Cosinusfunktion verwenden. Wir wissen, dass die Ableitung der Cosinusfunktion -sin(x) ist, also ist die Ableitung der Sinusfunktion cos(x).
Wir können diese Ergebnisse jetzt in die Kettenregel einsetzen:
f ‚(x) = (-sin(x) o sin(x)) + (cos(x) o cos(x))
Wir können die Klammern entfernen, weil wir wissen, dass die Ableitung von sin(x)cos(x) ist:
f ‚(x) = -sin2(x) + cos2(x)
Wir können diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir die Identität sin2(x) + cos2(x) = 1 verwenden:
f ‚(x) = -sin2(x) + 1
Wir können diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir die Identität sin2(x) = 1 – cos2(x) verwenden:
f ‚(x) = -(1 – cos2(x)) + 1
Wir können diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir die Klammern entfernen:
f ‚(x) = -1 + cos2(x) + 1
Wir können diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir die Klammern entfernen:
f ‚(x) = cos2(x)
Wir können diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir die Identität cos2(x) = 1 – sin2(x) verwenden:
f ‚(x) = 1 – sin2(x)
Wir können diese Gleichung weiter vereinfachen, indem wir die Klammern entfernen und die Klammern umschreiben:
