Wenn man die Tangente an einer Kurve an einer bestimmten Stelle berechnen will, kann man dies auf zwei verschiedene Arten tun:
Methode 1: Man kann die Tangente an einer Kurve an einer bestimmten Stelle berechnen, indem man die Steigung der Kurve an dieser Stelle berechnet. Die Steigung der Kurve an einer bestimmten Stelle wird berechnet, indem man zwei Punkte auf der Kurve auswählt und dann die Steigung der Geraden berechnet, die diese beiden Punkte verbindet.
Methode 2: Man kann die Tangente an einer Kurve an einer bestimmten Stelle berechnen, indem man die Tangente an einer Parabel an dieser Stelle berechnet. Die Tangente an einer Parabel an einer bestimmten Stelle wird berechnet, indem man die Ableitung der Parabel an dieser Stelle berechnet.
Beispiel 1
Berechne die Tangente an der Kurve y = x2 an der Stelle x = 1.
Lösung: Um die Tangente an dieser Kurve zu berechnen, können wir entweder die Steigung der Kurve an der Stelle x = 1 berechnen oder die Tangente an der Parabel y = x2 an der Stelle x = 1 berechnen. Wir werden beide Methoden verwenden.
Methode 1: Die Steigung der Kurve an der Stelle x = 1 berechnen
Wir wählen zwei Punkte auf der Kurve, die in der Nähe der Stelle x = 1 liegen. Wir wählen die Punkte P(1,1) und Q(1.5,2.25). Die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte verbindet, ist m = (2.25-1)/(1.5-1) = 1.25.
Die Tangente an der Kurve an der Stelle x = 1 ist also die Gerade mit Steigung m = 1.25, die durch den Punkt P(1,1) verläuft.
Methode 2: Die Tangente an der Parabel y = x2 an der Stelle x = 1 berechnen
Die Tangente an einer Parabel an einer bestimmten Stelle wird berechnet, indem man die Ableitung der Parabel an dieser Stelle berechnet. Die Ableitung der Parabel y = x2 an der Stelle x = 1 ist y‚ = 2x = 2·1 = 2.
Die Tangente an der Parabel y = x2 an der Stelle x = 1 ist also die Gerade mit Steigung m = 2, die durch den Punkt P(1,1) verläuft.
Beispiel 2
Berechne die Tangente an der Kurve y = x3 an der Stelle x = -1.
Lösung: Um die Tangente an dieser Kurve zu berechnen, können wir entweder die Steigung der Kurve an der Stelle x = -1 berechnen oder die Tangente an der Parabel y = x3 an der Stelle x = -1 berechnen. Wir werden beide Methoden verwenden.
Methode 1: Die Steigung der Kurve an der Stelle x = -1 berechnen
Wir wählen zwei Punkte auf der Kurve, die in der Nähe der Stelle x = -1 liegen. Wir wählen die Punkte P(-1,-1) und Q(-0.5,-0.125). Die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte verbindet, ist m = (-0.125-(-1))/(-0.5-(-1)) = 0.25.
Die Tangente an der Kurve an der Stelle x = -1 ist also die Gerade mit Steigung m = 0.25, die durch den Punkt P(-1,-1) verläuft.
Methode 2: Die Tangente an der Parabel y = x3 an der Stelle x = -1 berechnen
Die Tangente an einer Parabel an einer bestimmten Stelle wird berechnet, indem man die Ableitung der Parabel an dieser Stelle berechnet. Die Ableitung der Parabel y = x3 an der Stelle x = -1 ist y‚ = 3x2 = 3·(-1)2 = -3.
Die Tangente an der Parabel y = x3 an der Stelle x = -1 ist also die Gerade mit Steigung m = -3, die durch den Punkt P(-1,-1) verläuft.
Beispiel 3
Berechne die Tangente an der Kurve y = 4x2+7x-6 an der Stelle x = 3.
Lösung: Um die Tangente an dieser Kurve zu berechnen, können wir entweder die Steigung der Kurve an der Stelle x = 3 berechnen oder die Tangente an der Parabel y = 4x2+7x-6 an der Stelle x = 3 berechnen. Wir werden beide Methoden verwenden.
Methode 1: Die Steigung der Kurve an der Stelle x = 3 berechnen
Wir wählen zwei Punkte auf der Kurve, die in der Nähe der Stelle x = 3 liegen. Wir wählen die Punkte P(3,39) und Q(3.5,57.5). Die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte verbindet, ist m = (57.5-39)/(3.5-3) = 9.5.
Die Tangente an der Kurve an der Stelle x = 3 ist also die Gerade mit Steigung m = 9.5, die durch den Punkt P(3,39) verläuft.
Methode 2: Die Tangente an der Parabel y = 4x2+7x-6 an der Stelle x = 3 berechnen
Die Tangente an einer Parabel an einer bestimmten Stelle wird berechnet, indem man die Ableitung der Parabel an dieser Stelle berechnet. Die Ableitung der Parabel y = 4x2+7x-6 an der Stelle x = 3 ist y‚ = 8x+7 = 8·3+7 = 31.
Die Tangente an der Parabel y = 4x2+7x-6 an der Stelle x = 3 ist also die Gerade mit Steigung m = 31, die durch den Punkt P(3,39) verläuft.
Beispiel 4
Berechne die Tangente an der Kurve y = (4x-2)/(3x+5) an der Stelle x = -1.
Lösung: Um die Tangente an dieser Kurve zu berechnen, können wir entweder die Steigung der Kurve an der Stelle x = -1 berechnen oder die Tangente an der Parabel y = (4x-2)/(3x+5) an der Stelle x = -1 berechnen. Wir werden beide Methoden verwenden.
Methode 1: Die Steigung der Kurve an der Stelle x = -1 berechnen
Wir wählen zwei Punkte auf der Kurve, die in der Nähe der Stelle x = -1 liegen. Wir wählen die Punkte P(-1,-2) und Q(-0.5,-0.75). Die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte verbindet, ist m = (-0.75-(-2))/(-0.5-(-1)) = 1.5.
Die Tangente an der Kurve an der Stelle x = -1 ist also die Gerade mit Steigung m = 1.5, die durch den Punkt P(-1,-2) verläuft.
Methode 2: Die Tangente an der Parabel y = (4x-2)/(3x+5) an der Stelle x = -1 berechnen
Die Tangente an einer Parabel an einer bestimmten Stelle wird berechnet, indem man die Ableitung der Parabel an dieser Stelle berechnet. Die Ableitung der Parabel y = (4x-2)/(3x+5) an der Stelle x = -1 ist y‚ = (4-2·3)/(3+5)2 = -2/64 = -0.03125.
Die Tangente an der Parabel y = (4x-2)/(3x+5) an der Stelle x = -1 ist also die Gerade mit Steigung m = -0.03125, die durch den Punkt P(-1,-2) verläuft.
Beispiel 5
Berechne die Tangente an der Kurve y = 1/x an der Stelle x = 1.
Lösung: Um die Tangente an dieser Kurve zu berechnen, können wir entweder die Steigung der Kurve an der Stelle x = 1 berechnen oder die Tangente an der Parabel y = 1/x an der Stelle x = 1 berechnen. Wir werden beide Methoden verwenden.
Methode 1: Die Steigung der Kurve an der Stelle x = 1 berechnen
