Die Umkehrfunktion ist die inverse Funktion zu einer gegebenen Funktion. Sie können sie bestimmen, indem Sie die Funktion so „umkehren“, dass sie wieder y ist. Dies können Sie tun, indem Sie x als y und y als x schreiben. Die Umkehrfunktion ist also x = f(y).
Wenn Sie die Umkehrfunktion von f(x) bestimmen wollen, setzen Sie y anstelle von x ein. Dies bedeutet, dass Sie f(y) bestimmen müssen. Dann setzen Sie x wieder ein, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist die Ableitung der Funktion, die umgekehrt wird. Dies ist notwendig, weil sich die Steigung der Funktion ändert, wenn sie umgekehrt wird. Die Ableitung der Umkehrfunktion ist also 1 / f ‚(y).
Beispiel
Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1 und bestimmen Sie ihre Ableitung.
Die Umkehrfunktion ist x = f(y) = (y – 1) / 2.
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 / (2 * (y – 1) / 2) = 1 / f ‚(y) = 1 / 2.
Aufgaben
Aufgabe 1
Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = 3x – 5 und bestimmen Sie ihre Ableitung.
Lösung
Die Umkehrfunktion ist x = f(y) = (y + 5) / 3.
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 / (3 * (y + 5) / 3) = 1 / f ‚(y) = 1 / 3.
Aufgabe 2
Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = (x – 1) / (x + 1) und bestimmen Sie ihre Ableitung.
Lösung
Die Umkehrfunktion ist x = f(y) = (y + 1) / (y – 1).
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 / ( (y – 1) * (y + 1) / (y – 1)) = 1 / f ‚(y) = 1 / (2 * y).
Aufgabe 3
Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = 4x2 – 5 und bestimmen Sie ihre Ableitung.
Lösung
Die Umkehrfunktion ist x = f(y) = √(y + 5) / 4.
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 / (4 * √(y + 5) / 4)2 = 1 / f ‚(y) = 1 / (8 * √(y + 5)).
Aufgabe 4
Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = x3 – x und bestimmen Sie ihre Ableitung.
Lösung
Die Umkehrfunktion ist x = f(y) = √(y + 1).
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 / (3 * √(y + 1)2) = 1 / f ‚(y) = 1 / (6 * √(y + 1)).
Aufgabe 5
Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = ex und bestimmen Sie ihre Ableitung.
Lösung
Die Umkehrfunktion ist x = f(y) = ln(y).
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 / (eln(y)) = 1 / y.
