Der beidseitige Grenzwert einer Funktion f an einem Punkt c ist gegeben, wenn für alle ε > 0 eine δ > 0 existiert, sodass für alle x, die sich in einer Umgebung von c befinden und für die gilt 0 < |x-c| < δ, die Bedingung
|f(x) – L| < ε
erfüllt ist. In diesem Fall nennt man L den beidseitigen Grenzwert von f an c.
Die Bedingung kann auch in der folgenden Form gegeben werden:
Für alle ε > 0 gibt es eine δ > 0, sodass gilt
-ε < f(x) - L < ε,
wenn 0 < |x-c| < δ.
Beispiele
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x2 – 1
Wir bestimmen den beidseitigen Grenzwert von f an der Stelle c = 1:
Für alle ε > 0 muss es eine δ > 0 geben, sodass für alle x, die sich in einer Umgebung von 1 befinden und für die gilt 0 < |x-1| < δ, die Bedingung
|f(x) – f(1)| < ε
erfüllt ist.
Wir berechnen f(x):
f(x) = x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
für x = 1 gilt f(1) = 0.
Die Bedingung kann umformuliert werden zu:
|(x – 1)(x + 1) – 0| < ε
|x2 – 1 – 0| < ε
|x2 – 1| < ε
Da |z| >= 0 für alle z gilt, können wir die Bedingung weiter vereinfachen zu:
x2 – 1 < ε
x2 < ε + 1
x < √ε + 1
Für alle ε > 0 kann man nun eine δ = √ε + 1 wählen. Damit ist die Bedingung erfüllt. Somit ist der beidseitige Grenzwert von f an der Stelle c = 1 gleich L = 0.
Übungsaufgaben
Bestimme den beidseitigen Grenzwert der folgenden Funktionen an den angegebenen Punkten:
f(x) = 1/x, c = 0
f(x) = x2 – x – 1, c = 1
f(x) = (3x – 1)/(2x + 5), c = -2
f(x) = 1/(x – 1), c = 1
Lösung:
f(x) = 1/x, c = 0
Für alle ε > 0 muss es eine δ > 0 geben, sodass für alle x, die sich in einer Umgebung von 0 befinden und für die gilt 0 < |x-0| < δ, die Bedingung
|f(x) – f(0)| < ε
erfüllt ist.
Wir berechnen f(x):
f(x) = 1/x
für x = 0 gilt f(0) = 0.
Die Bedingung kann umformuliert werden zu:
|1/x – 0| < ε
|1/x| < ε
Da |z| >= 0 für alle z gilt, können wir die Bedingung weiter vereinfachen zu:
1/x < ε
x > 1/ε
Für alle ε > 0 kann man nun eine δ = 1/ε wählen. Damit ist die Bedingung erfüllt. Somit ist der beidseitige Grenzwert von f an der Stelle c = 0 gleich L = 0.
f(x) = x2 – x – 1, c = 1
Für alle ε > 0 muss es eine δ > 0 geben, sodass für alle x, die sich in einer Umgebung von 1 befinden und für die gilt 0 < |x-1| < δ, die Bedingung
|f(x) – f(1)| < ε
erfüllt ist.
Wir berechnen f(x):
f(x) = x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1) – 1
für x = 1 gilt f(1) = 0.
Die Bedingung kann umformuliert werden zu:
|(x – 1)(x + 1) – 1 – 0| < ε
|x2 – 1 – 1| < ε
|x2 – 2| < ε
Da |z| >= 0 für alle z gilt, können wir die Bedingung weiter vereinfachen zu:
x2 – 2 < ε
x2 < ε + 2
x < √ε + 2
Für alle ε > 0 kann man nun eine δ = √ε + 2 wählen. Damit ist die Bedingung erfüllt. Somit ist der beidseitige Grenzwert von f an der Stelle c = 1 gleich L = 0.
f(x) = (3x – 1)/(2x + 5), c = -2
Für alle ε > 0 muss es eine δ > 0 geben, sodass für alle x, die sich in einer Umgebung von -2 befinden und für die gilt 0 < |x-(-2)| < δ, die Bedingung
Da |z| >= 0 für alle z gilt und a > b >= 0 gilt, wenn a > 0 und b >= 0, folgt |a|/b <= a/b. Somit gilt:
|3(x + 2)|/(2x + 7) <= 3(|x + 2|)/(2|x + 2| + 7)
Wir berechnen den Grenzwert von 3(|x + 2|)/(2|x + 2| + 7) an x = -2:
Für alle ε > 0 muss es eine δ > 0 geben, sodass für alle x, die sich in einer Umgebung von -2 befinden und für die gilt 0 < |x-(-2)| < δ, die Bedingung
