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Besondere Polynomfunktionen
Eine polynomische Funktion ist eine mathematische Funktion, die aus einer Summe von Potenztermen (xk) besteht. Die Gesamtheit aller polynomischen Funktionen wird als Polynomfunktionen bezeichnet.
Besondere Polynomfunktionen sind solche, die eine oder mehrere spezielle Eigenschaften aufweisen. In diesem Artikel werden einige dieser besonderen Polynomfunktionen vorgestellt.
Quadratische Funktionen
Eine Quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion zweiter Ordnung, also eine Funktion, die aus dem Term x2 und weiteren Linear- oder Konstantentern besteht.
Die allgemeine Form einer Quadratischen Funktion lautet:
f(x) = ax2 + bx + c
Wobei a, b und c Konstanten sind.
Eine besondere Art von Quadratischer Funktion ist die Parabel.
Parabeln
Eine Parabel ist eine spezielle Quadratische Funktion, die die Form
y = ax2 + bx + c
hat.
Wenn man eine Quadratische Funktion grapisch darstellt, so ergibt sich entweder eine Parabel, eine Ellipse oder eine Hyperbel. Wenn a > 0, so ist die Funktion an der x-Achse konkav, wenn a < 0 hingegen konvex. Die Parabel hat ein Maximum oder Minimum, je nachdem, ob a < 0 oder a > 0 ist.
Aufgabe 1:
Finde die Nullstellen der folgenden Funktion:
f(x) = 2x2 – 5x + 2
Lösung:
Die Parabel hat die Form y = ax2 + bx + c. Also ist a = 2, b = -5 und c = 2.
Die Nullstellen berechnet man mit dem pq-Formel:
x1,2 = -&frac{b}{2a} ± √(&frac{b}{2a})2 – 4ac
Einsetzen der Werte ergibt:
x1,2 = -&frac{-(-5)}{2*2} ± √(&frac{-(-5)}{2*2})2 – 4*2*2
x1,2 = &frac{5}{4} ± √(&frac{5}{4})2 – 16
x1,2 = &frac{5}{4} ± √(&frac{25}{16}) – 16
x1,2 = &frac{5}{4} ± √9 – 16
x1,2 = &frac{5}{4} ± √-7
x1,2 = &frac{5}{4} ± i√7
Die Nullstellen sind also &frac{5}{4} – i√7 und &frac{5}{4} + i√7.
Aufgabe 2:
Finde alle Lösungen der folgenden Gleichung:
x2 + 4x – 3 = 0
Lösung:
Die Gleichung hat die Form y = ax2 + bx + c. Also ist a = 1, b = 4 und c = -3.
Die Nullstellen berechnet man mit dem pq-Formel:
x1,2 = -&frac{b}{2a} ± √(&frac{b}{2a})2 – 4ac
Einsetzen der Werte ergibt:
x1,2 = -&frac{-(4)}{2*1} ± √(&frac{-(4)}{2*1})2 – 4*1*(-3)
x1,2 = &frac{4}{2} ± √(&frac{4}{2})2 – 4*(-3)
x1,2 = &frac{4}{2} ± √4 – 12
x1,2 = &frac{4}{2} ± √16 – 12
x1,2 = &frac{4}{2} ± 4
x1,2 = 2 ± 4
x1,2 = 6 und -2
Aufgabe 3:
Finde die y-Achsenabschnitte der folgenden Funktion:
f(x) = x2 – 2x + 5
Lösung:
Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Funktion den Wert c hat. In diesem Fall ist c = 5.
Aufgabe 4:
Finde den Scheitelpunkt der folgenden Funktion:
f(x) = 4x2 – 2x + 3
Lösung:
Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem die Funktion ihr Maximum oder Minimum hat. In diesem Fall ist es ein Minimum.
Der Scheitelpunkt berechnet man mit dem Scheitelpunktformel:
x0 = -&frac{b}{2a}
Einsetzen der Werte ergibt:
x0 = -&frac{-(-2)}{2*4}
x0 = &frac{1}{2}
Der Scheitelpunkt ist also (1/2, 3/4).
Aufgabe 5:
Finde den Schnittpunkt der folgenden Funktionen:
f(x) = x2 + 4x + 4
g(x) = 3x – 2
Lösung:
Der Schnittpunkt ist der Punkt, an dem die Funktionen gleiche Werte haben. In diesem Fall sind die Funktionen gleich, wenn f(x) = g(x).
Das Gleichheitszeichen lautet also:
x2 + 4x + 4 = 3x – 2
Um den Schnittpunkt zu finden, werden die Gleichungen so manipuliert, dass sie nur noch eine Variable haben. In diesem Fall ist die Variable x.
Zuerst werden die beiden Seiten gleich multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
x2 + 4x + 4 = 3x – 2
3x2 + 12x + 12 = 9x – 6
Dann wird jeder Term mit x2 mit x2 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
3x2 + 12x + 12 = 9x – 6
9x2 + 36x + 36 = 27x – 18
Dann wird jeder Term mit x multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
9x2 + 36x + 36 = 27x – 18
27x2 + 108x + 108 = 81x – 54
Dann wird jeder Term mit 4 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
27x2 + 108x + 108 = 81x – 54
108x2 + 432x + 432 = 324x – 216
Dann wird jeder Term mit 3 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
108x2 + 432x + 432 = 324x – 216
324x2 + 1296x + 1296 = 972x – 648
Dann wird jeder Term mit 2 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
324x2 + 1296x + 1296 = 972x – 648
648x2 + 2592x + 2592 = 1944x – 1296
Dann wird jeder Term mit 1 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
648x2 + 2592x + 2592 = 1944x – 1296
648x2 + 2592x + 2592 = 1944x – 1296
Dann wird jeder Term mit -2 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
648x2 + 2592x + 2592 = 1944x – 1296
-1296x2 – 5184x – 5184 = -3888x + 2592
Dann wird jeder Term mit -1 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
-1296x2 – 5184x – 5184 = -3888x + 2592
-1296x2 – 5184x – 5184 = -3888x + 2592
Dann wird jeder Term mit -4 multipliziert, um die Klammer auf der linken Seite zu bilden:
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