Die faktorisierte Form in Scheitelpunktform ist eine algebraische Gleichung, die einen Term mit einem Quadrat in einem Nenner hat. Die Scheitelpunktform ist nützlich, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden, die durch eine solche Gleichung beschrieben wird.
Die Standardform einer solchen Gleichung lautet y = a(x – h)2 + k. Hier ist a der Abschnitt, h ist der Scheitelpunkt in x-Richtung und k ist der Scheitelpunkt in y-Richtung.
Um eine Gleichung in die faktorisierte Form in Scheitelpunktform zu bringen, müssen Sie zwei Dinge tun:
Faktorisieren Sie den Nenner, um ein Quadrat zu erhalten.
Finden Sie die Werte für h und k.
Beispiel 1
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = 3x2 – 12x + 9.
Zuerst faktorisieren wir den Nenner:
y = 3(x – h)2 + k
Um die Werte für h und k zu finden, setzen wir y gleich den entsprechenden Ausdrücken in der Gleichung ein:
9 = 3(0 – h)2 + k
9 = 3h2 – 12h + 9
Um h zu finden, lösen wir die quadratische Gleichung:
0 = 3h2 – 12h + 9
0 = (3h – 9)(h – 1)
h = 3 oder h = 1
Um k zu finden, setzen wir h in die ursprüngliche Gleichung ein:
9 = 3(0 – 3)2 + k
9 = 9k
k = 1
Also ist die faktorisierte Form in Scheitelpunktform y = 3(x – 3)2 + 1.
Beispiel 2
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = -4x2 + 16x – 12.
Zuerst faktorisieren wir den Nenner:
y = -4(x – h)2 + k
Um die Werte für h und k zu finden, setzen wir y gleich den entsprechenden Ausdrücken in der Gleichung ein:
-12 = -4(0 – h)2 + k
-12 = -4h2 + 16h – 12
Um h zu finden, lösen wir die quadratische Gleichung:
0 = -4h2 + 16h – 12
0 = (4h – 12)(h – 3)
h = 3 oder h = -3/4
Um k zu finden, setzen wir h in die ursprüngliche Gleichung ein:
-12 = -4(0 – 3)2 + k
-12 = 9k
k = -4
Also ist die faktorisierte Form in Scheitelpunktform y = -4(x – 3)2 – 4.
Aufgabe 1
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = 4x2 – 12x + 9.
Lösung: Die faktorisierte Form in Scheitelpunktform ist y = 4(x – 3)2 + 1.
Aufgabe 2
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = -5x2 + 20x – 16.
Lösung: Die faktorisierte Form in Scheitelpunktform ist y = -5(x – 4)2 – 1.
Aufgabe 3
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = 3x2 + 12x + 9.
Lösung: Die faktorisierte Form in Scheitelpunktform ist y = 3(x + 3)2 + 0.
Aufgabe 4
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = -x2 – 8x – 16.
Lösung: Die faktorisierte Form in Scheitelpunktform ist y = -(x + 4)2 – 16.
Aufgabe 5
Finden Sie die faktorisierte Form in Scheitelpunktform für die Gleichung y = -5x2 + 10x – 1.
Lösung: Die faktorisierte Form in Scheitelpunktform ist y = -5(x – 1)2 + 4.
