Die Potenzfunktion ist eine spezielle Funktion, die zu den sogenannten exponentialfunktionen gehört. Sie hat die allgemeine Form f(x)=b^x mit dem Basiswert b und dem Exponenten x. Der Wert der Potenzfunktion ist immer positiv, außer wenn der Basiswert gleich null ist. Die Potenzfunktion ist stetig und monoton steigend. Für den Basiswert b gilt, dass b > 1 die Funktion steiler macht und 0 < b < 1 die Funktion flacher macht. Die Steigung der Tangente an der Funktion ist gleich dem Basiswert b.
Potenzfunktionen mit Bruch als Exponent
Die Potenzfunktion mit Bruch als Exponent hat die allgemeine Form f(x)=b^(p/q). Der Basiswert b ist hierbei eine positive Zahl und der Exponent p/q ist ein Bruch. Da der Exponent ein Bruch ist, ist die Potenzfunktion nicht stetig. An den Stellen, an denen der Bruch p/q einen ganzzahligen Wert hat, ist die Funktion stetig, ansonsten nicht.
Beispiel 1:
Betrachte die Funktion f(x)=2^(3/2). Der Basiswert ist b=2 und der Exponent ist p/q=3/2. Für x=1 ist der Wert der Funktion f(1)=2^(3/2)=2^1.5=2*sqrt(2). Für x=2 ist der Wert der Funktion f(2)=2^(3/2)=2^1.5=2*sqrt(2). Für x=3 ist der Wert der Funktion f(3)=2^(3/2)=2^1.5=2*sqrt(2). Für x=4 ist der Wert der Funktion f(4)=2^(3/2)=2^1.5=2*sqrt(2). Wie man sieht, ist die Funktion an den ganzzahligen Stellen stetig, ansonsten nicht.
Beispiel 2:
Betrachte die Funktion f(x)=4^(1/3). Der Basiswert ist b=4 und der Exponent ist p/q=1/3. Für x=1 ist der Wert der Funktion f(1)=4^(1/3)=4^0.333…=4^(1/3)=4*4*4=64. Für x=2 ist der Wert der Funktion f(2)=4^(1/3)=4^0.333…=4*4*4=64. Für x=3 ist der Wert der Funktion f(3)=4^(1/3)=4^0.333…=4*4*4=64. Für x=4 ist der Wert der Funktion f(4)=4^(1/3)=4^0.333…=4*4*4=64. Wie man sieht, ist die Funktion an den ganzzahligen Stellen stetig, ansonsten nicht.
Aufgaben
Aufgabe 1:
Betrachte die Funktion f(x)=3^(2/5). Berechne den Funktionswert f(4).
Lösung 1:
Der Basiswert ist b=3 und der Exponent ist p/q=2/5. Für x=4 ist der Wert der Funktion f(4)=3^(2/5)=3^0.4=3*3*3*3=81.
Aufgabe 2:
Betrachte die Funktion f(x)=5^(1/4). Berechne den Funktionswert f(3).
Lösung 2:
Der Basiswert ist b=5 und der Exponent ist p/q=1/4. Für x=3 ist der Wert der Funktion f(3)=5^(1/4)=5^0.25=5*5=25.
Aufgabe 3:
Betrachte die Funktion f(x)=2^(1/3). Berechne den Funktionswert f(5).
Lösung 3:
Der Basiswert ist b=2 und der Exponent ist p/q=1/3. Für x=5 ist der Wert der Funktion f(5)=2^(1/3)=2^0.333…=2*2*2=8.
Aufgabe 4:
Betrachte die Funktion f(x)=4^(1/5). Berechne den Funktionswert f(4).
Lösung 4:
Der Basiswert ist b=4 und der Exponent ist p/q=1/5. Für x=4 ist der Wert der Funktion f(4)=4^(1/5)=4^0.2=4*4=16.
Aufgabe 5:
Betrachte die Funktion f(x)=6^(1/2). Berechne den Funktionswert f(6).
Lösung 5:
Der Basiswert ist b=6 und der Exponent ist p/q=1/2. Für x=6 ist der Wert der Funktion f(6)=6^(1/2)=6^0.5=6*6=36.
