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Trigonometrische Funktionen ableiten
In diesem Artikel lernst du, wie du die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens ableitest.
Ableitung von Sinus
Die Ableitung von Sinus ist Kosinus:
$$frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$$
Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an der Sinuskurve immer gleich dem Kosinus des betrachteten Punktes ist.
Ableitung von Kosinus
Die Ableitung von Kosinus ist Minus-Sinus:
$$frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)$$
Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an der Kosinus-Kurve immer gleich dem Negativen Sinus des betrachteten Punktes ist.
Ableitung von Tangens
Die Ableitung von Tangens ist Secant-Quadrat:
$$frac{d}{dx}tan(x)=sec^2(x)$$
Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an der Tangens-Kurve immer gleich dem Quadrat der Sekante des betrachteten Punktes ist.
Ableitungsregeln
Es gibt ein paar Regeln, die du bei der Ableitung von trigonometrischen Funktionen beachten solltest:
- Der Sinus einer Summe ist gleich der Summe der Sinus-Terme: $sin(x+y)=sin(x)+sin(y)$
- Der Cosinus einer Summe ist gleich der Differenz der Cosinus-Terme: $cos(x+y)=cos(x)-cos(y)$
- Der Tangens einer Summe ist gleich der Differenz der Tangens-Terme: $tan(x+y)=tan(x)-tan(y)$
Aufgaben
Jetzt übst du, die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.
- Berechne $frac{d}{dx}sin(x)$.
- Berechne $frac{d}{dx}cos(2x)$.
- Berechne $frac{d}{dx}tan(x^2)$.
- Berechne $frac{d}{dx}sin(x^3-2x)$.
- Berechne $frac{d}{dx}tan(x+frac{pi}{4})$.
Lösungen
- $frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$
- $frac{d}{dx}cos(2x)=sin(-2x)=-sin(2x)$
- $frac{d}{dx}tan(x^2)=sec^2(x^2)=frac{1}{cos^2(x^2)}$
- $frac{d}{dx}sin(x^3-2x)=cos(x^3-2x)(3x^2-2)$
- $frac{d}{dx}tan(x+frac{pi}{4})=sec^2(x+frac{pi}{4})=frac{1}{cos^2(x+frac{pi}{4})}$
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