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Wurzeln mit höherem Wurzelexponent
Allgemeine Erklärung
Im Allgemeinen gilt:
$$sqrt[n]{x} = x^{1/n}$$
Für positive Ganzzahlen n. Dieses Verhältnis wird als nte Wurzel von x bezeichnet. Wenn n gerade ist, so lässt sich die nte Wurzel als Potenz zweiter Wurzeln darstellen:
$$sqrt[n]{x} = sqrt[2]{sqrt[2]{ldots sqrt[2]{x}}},$$
wobei die Anzahl der Wurzeln n ist. Die mte Wurzel aus der nten Wurzel von x ist dann gleich
$$sqrt[m]{sqrt[n]{x}} = sqrt[mn]{x}.$$
Das gilt insbesondere für die Quadratwurzel, die dann als Wurzel der vierten Potenz dargestellt werden kann:
$$sqrt{sqrt[4]{x}} = sqrt[8]{x}.$$
Dies lässt sich auch allgemein auf höhere Wurzelfunktionen übertragen:
$$sqrt[m]{sqrt[n]{x}} = sqrt[mn]{x}.$$
Beispiele
Betrachten wir als erstes das Beispiel
$$sqrt[4]{8}.$$
Dies ist gleich
$$sqrt[4]{8} = sqrt{sqrt{sqrt{8}}} = sqrt[8]{8}.$$
Nun berechnen wir die 4te Wurzel aus der 4ten Wurzel von 8:
$$sqrt[4]{sqrt[4]{8}} = sqrt[16]{8}.$$
Dasselbe gilt auch für die 6te Wurzel der 8ten Wurzel von 8:
$$sqrt[6]{sqrt[8]{8}} = sqrt[48]{8}.$$
Und so weiter. In der Tat gilt allgemein:
$$sqrt[m]{sqrt[n]{x}} = sqrt[mn]{x}.$$
Aufgaben
Berechnen Sie die angegebene Wurzel.
1. $$sqrt[4]{81}$$
2. $$sqrt[6]{256}$$
3. $$sqrt[3]{sqrt[4]{16}}$$
4. $$sqrt[6]{sqrt[3]{27}}$$
5. $$sqrt[3]{8}$$
Lösungen:
1. $$sqrt[4]{81} = sqrt[16]{81} = 3$$
2. $$sqrt[6]{256} = sqrt[36]{256} = 2$$
3. $$sqrt[3]{sqrt[4]{16}} = sqrt[12]{16} = 2$$
4. $$sqrt[6]{sqrt[3]{27}} = sqrt[18]{27} = 3$$
5. $$sqrt[3]{8} = sqrt[9]{8} = 2$$
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