Die Hessische Normalform ist eine Methode zur Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden in der Ebene. Dieser Algorithmus wird häufig in der computergestützten Geometrie verwendet.
Gegeben seien zwei Geraden g und h in der Ebene. Die Schnittlinie l der beiden Geraden ist senkrecht zu g und h. Der Punkt P, an dem sich g und h schneiden, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Die Hessische Normalform berechnet den Schnittpunkt der beiden Geraden anhand der folgenden Formel:
In der Hesseschen Normalform wird der Schnittpunkt der beiden Geraden als Lösungsgleichung für die beiden Unbekannten x und y aufgestellt. Die Koeffizienten a, b, c, d, e und f werden durch die Koordinaten der beiden Geraden berechnet.
Gegeben seien die Geraden g und h mit den Koordinaten (x1, y1, z1) und (x2, y2, z2). Die Koeffizienten a, b, c, d, e und f berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2
b = z2 – z1
c = x2 – x1
d = y1 – y2
e = z2 – z1
f = x2 – x1
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
Beispiel:
Die beiden Geraden g und h in der Ebene haben die Koordinaten
g: (1, 2, 3)
h: (4, 5, 6)
Die Koeffizienten der Hesseschen Normalform berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2 = 2 – 5 = -3
b = z2 – z1 = 6 – 3 = 3
c = x2 – x1 = 4 – 1 = 3
d = y1 – y2 = 2 – 5 = -3
e = z2 – z1 = 6 – 3 = 3
f = x2 – x1 = 4 – 1 = 3
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
Aufgabe 1:
Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h in der Ebene.
g: (1, -1, 2)
h: (3, 1, -4)
Lösung:
Die Koeffizienten der Hesseschen Normalform berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2 = -1 – 1 = -2
b = z2 – z1 = -4 – 2 = -6
c = x2 – x1 = 3 – 1 = 2
d = y1 – y2 = -1 – 1 = -2
e = z2 – z1 = -4 – 2 = -6
f = x2 – x1 = 3 – 1 = 2
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
P: (-2, 4, 0)
Aufgabe 2:
Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h in der Ebene.
g: (2, 1, 4)
h: (4, -3, 2)
Lösung:
Die Koeffizienten der Hesseschen Normalform berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2 = 1 – (-3) = 4
b = z2 – z1 = 2 – 4 = -2
c = x2 – x1 = 4 – 2 = 2
d = y1 – y2 = 1 – (-3) = 4
e = z2 – z1 = 2 – 4 = -2
f = x2 – x1 = 4 – 2 = 2
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
P: (0, -2, 0)
Aufgabe 3:
Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h in der Ebene.
g: (4, 3, 5)
h: (2, 1, -1)
Lösung:
Die Koeffizienten der Hesseschen Normalform berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2 = 3 – 1 = 2
b = z2 – z1 = -1 – 5 = -6
c = x2 – x1 = 2 – 4 = -2
d = y1 – y2 = 3 – 1 = 2
e = z2 – z1 = -1 – 5 = -6
f = x2 – x1 = 2 – 4 = -2
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
P: (4, -4, 1)
Aufgabe 4:
Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h in der Ebene.
g: (1, 1, 1)
h: (2, 4, -1)
Lösung:
Die Koeffizienten der Hesseschen Normalform berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2 = 1 – 4 = -3
b = z2 – z1 = -1 – 1 = -2
c = x2 – x1 = 2 – 1 = 1
d = y1 – y2 = 1 – 4 = -3
e = z2 – z1 = -1 – 1 = -2
f = x2 – x1 = 2 – 1 = 1
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
P: (0, -2, 3)
Aufgabe 5:
Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h in der Ebene.
g: (1, 0, 1)
h: (2, -4, 3)
Lösung:
Die Koeffizienten der Hesseschen Normalform berechnen sich wie folgt:
a = y1 – y2 = 0 – (-4) = 4
b = z2 – z1 = 3 – 1 = 2
c = x2 – x1 = 2 – 1 = 1
d = y1 – y2 = 0 – (-4) = 4
e = z2 – z1 = 3 – 1 = 2
f = x2 – x1 = 2 – 1 = 1
Die Lösungsgleichung für den Schnittpunkt der beiden Geraden lautet:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt P mit den Koordinaten (x, y, z).
