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Abstand Punkt Gerade berechnen
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g kann auf zwei Weisen berechnet werden.
- Entweder mit Hilfe des Satzes von Steiner-Lehmus:
Satz: Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich dem Betrag des senkrechten Projektionsvektors von P auf g.
Dabei ist n der Normalenvektor zu g.
Ein Vektor v heißt senkrecht zu einem anderen Vektor w, falls v und w orthogonal sind. Das heißt, der Innenwinkel zwischen v und w ist gleich 90o.
Der Normalenvektor n ist senkrecht zur Geraden g. Die Länge des Normalenvektors ist gleich 1.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich der Länge des senkrechten Projektionsvektors von P auf g.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf g ist der Vektor, der senkrecht zur Geraden g ist und dessen Anfangspunkt in P liegt.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf g ist gleich dem Normalenvektor n.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich 1.
- Oder mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
Satz: Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich dem Betrag des Orthogonalprojektionsvektors von P auf g.
Dabei ist p der Orthogonalprojektionsvektor von P auf g.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf g ist der Vektor, der senkrecht zur Geraden g ist und dessen Endpunkt in P liegt.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf g ist gleich dem Vektor p.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich 1.
Aufgabe 1
Berechne den Abstand des Punktes P=(5;-2;3) von der Geraden g:
g: x–y+z=0
Lösung:
Der Normalenvektor n zu g ist gleich (1;-1;1).
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich der Länge des senkrechten Projektionsvektors von P auf g.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf g ist der Vektor, der senkrecht zur Geraden g ist und dessen Anfangspunkt in P liegt.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf g ist gleich dem Normalenvektor n.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich 1.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf g ist der Vektor, der senkrecht zur Geraden g ist und dessen Endpunkt in P liegt.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf g ist gleich dem Vektor p.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g ist gleich 1.
Aufgabe 2
Berechne den Abstand des Punktes P=(1;1;-2) von der Ebene E:
E: x+y+z=0
Lösung:
Der Normalenvektor n zu E ist gleich (1;1;1).
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich der Länge des senkrechten Projektionsvektors von P auf E.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf E ist der Vektor, der senkrecht zur Ebene E ist und dessen Anfangspunkt in P liegt.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf E ist gleich dem Normalenvektor n.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich 1.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf E ist der Vektor, der senkrecht zur Ebene E ist und dessen Endpunkt in P liegt.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf E ist gleich dem Vektor p.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich 1.
Aufgabe 3
Berechne den Abstand des Punktes P=(-1;-1;1) von der Ebene E:
E: x+y–z=0
Lösung:
Der Normalenvektor n zu E ist gleich (1;1;-1).
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich der Länge des senkrechten Projektionsvektors von P auf E.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf E ist der Vektor, der senkrecht zur Ebene E ist und dessen Anfangspunkt in P liegt.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf E ist gleich dem Normalenvektor n.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich 1.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf E ist der Vektor, der senkrecht zur Ebene E ist und dessen Endpunkt in P liegt.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf E ist gleich dem Vektor p.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich 1.
Aufgabe 4
Berechne den Abstand des Punktes P=(-2;1;-1) von der Ebene E:
E: x+y–z=0
Lösung:
Der Normalenvektor n zu E ist gleich (1;1;-1).
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich der Länge des senkrechten Projektionsvektors von P auf E.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf E ist der Vektor, der senkrecht zur Ebene E ist und dessen Anfangspunkt in P liegt.
Der senkrechte Projektionsvektor von P auf E ist gleich dem Normalenvektor n.
Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E ist gleich 1.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf E ist der Vektor, der senkrecht zur Ebene E ist und dessen Endpunkt in P liegt.
Der Orthogonalprojektionsvektor von P auf E ist gleich dem
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