Schwerpunkte besonderer Dreiecke | Übungen und Aufgaben mit Lösungen

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Schwerpunkte besonderer Dreiecke

Definition

Die Schwerpunkte besonderer Dreiecke sind Punkte, welche innerhalb eines Dreiecks eine bestimmte Eigenschaft aufweisen. Durch die Definition der Schwerpunkte besonderer Dreiecke können wir Aussagen über den Innenwinkel, den Umfang, die Seitenlängen und die Bereiche eines Dreiecks treffen.

Die 3 Schwerpunkte besonderer Dreiecke sind:

• Innenmittelpunkt (Incenter)
• Umfangsmittelpunkt (Circumcenter)
• Mittelpunkt der Mediatrix (Orthocenter)

Innenmittelpunkt (Incenter)

Der Innenmittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Innenwinkelhalbierenden. Die Innenwinkelhalbierende ist eine Linie, die den Innenwinkel eines Dreiecks halbiert.

Die Formel zur Berechnung des Innenmittelpunktes lautet:

Das Dreieck in der Grafik hat die Seitenlängen a = 4, b = 8 und c = 10. Die Länge der Innenwinkelhalbierenden wird mit r_I bezeichnet. Mit der Formel berechnet man zuerst den Wert für r_I und danach den Innenmittelpunkt.

r_I = a * b * c / 2 * (a + b + c) = 4 * 8 * 10 / 2 * (4 + 8 + 10) = 200 / 24 = 8,33 cm

Der Innenmittelpunkt ist:

I₁ = (a * r_I) / (a + b + c) = (4 * 8,33) / (4 + 8 + 10) = 33,32 / 22 = 1,51 cm

I₂ = (b * r_I) / (a + b + c) = (8 * 8,33) / (4 + 8 + 10) = 66,64 / 22 = 3,02 cm

Umfangsmittelpunkt (Circumcenter)

Der Umfangsmittelpunkt ist der Schnittpunkt der Umfanghalbgeraden. Die Umfanghalbgerade ist eine Linie, die den Umfang eines Dreiecks halbiert.

Die Formel zur Berechnung des Umfangsmittelpunktes lautet:

Das Dreieck in der Grafik hat die Seitenlängen a = 3, b = 5 und c = 4. Die Länge der Umfanghalbgeraden wird mit r_U bezeichnet. Mit der Formel berechnet man zuerst den Wert für r_U und danach den Umfangsmittelpunkt.

r_U = a * b * c / 4 * √(a² + b² + c²) = 3 * 5 * 4 / 4 * √(3² + 5² + 4²) = 60 / 16 * √(9 + 25 + 16) = 15 / 4 * √50 = 15 / 10 * √2 * 5² = 15 / 10 * 5 * √2 = 15 / 10 * 10 = 3 cm

Der Umfangsmittelpunkt ist:

U₁ = (a * r_U) / (a + b + c) = (3 * 3) / (3 + 5 + 4) = 9 / 12 = 0,75 cm

U₂ = (b * r_U) / (a + b + c) = (5 * 3) / (3 + 5 + 4) = 15 / 12 = 1,25 cm

Mittelpunkt der Mediatrix (Orthocenter)

Der Mittelpunkt der Mediatrix eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Höhen. Die Höhen sind Linien, die senkrecht auf einer Seite eines Dreiecks stehen und mit der gegenüberliegenden Seite einen rechten Winkel bilden.

Die Formel zur Berechnung des Mittelpunktes der Mediatrix lautet:

Das Dreieck in der Grafik hat die Seitenlängen a = 4, b = 5 und c = 6. Die Länge der Höhen wird mit h_a, h_b und h_c bezeichnet. Mit der Formel berechnet man zuerst die Werte für h_a, h_b und h_c und danach den Mittelpunkt der Mediatrix.

h_a = 2 * b * c / (a + b + c) = 2 * 5 * 6 / (4 + 5 + 6) = 60 / 15 = 4 cm

h_b = 2 * a * c / (a + b + c) = 2 * 4 * 6 / (4 + 5 + 6) = 48 / 15 = 3,2 cm

h_c = 2 * a * b / (a + b + c) = 2 * 4 * 5 / (4 + 5 + 6) = 40 / 15 = 2,66 cm

Der Mittelpunkt der Mediatrix ist:

M₁ = (h_a * b) / (a + b + c) = (4 * 5) / (4 + 5 + 6) = 20 / 15 = 1,33 cm

M₂ = (h_b * a) / (a + b + c) = (3,2 * 4) / (4 + 5 + 6) = 12,8 / 15 = 0,85 cm

Aufgaben

1. Berechne den Innenmittelpunkt des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 2 cm, b = 7 cm und c = 5 cm.
2. Berechne den Umfangsmittelpunkt des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 3 cm, b = 9 cm und c = 12 cm.
3. Berechne den Mittelpunkt der Mediatrix des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm.
4. Berechne den Umfang des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm.
5. Berechne den Innenwinkel C vom Dreieck mit den Seitenlängen a = 2 cm, b = 7 cm und c = 5 cm.

Lösungen

1. I₁ = (a * r_I) / (a + b + c) = (2 * 4,17) / (2 + 7 + 5) = 8,33 / 14 = 0,59 cm, I₂ = (b * r_I) / (a + b + c) = (7 * 4,17) / (2 + 7 + 5) = 29,19 / 14 = 2,08 cm
2. U₁ = (a * r_U) / (a + b + c) = (3 * 5) / (3 + 9 + 12) = 15 / 24 = 0,63 cm, U₂ = (b * r_U) / (a + b + c) = (9 * 5) / (3 + 9 + 12) = 45 / 24 = 1,88 cm
3. M₁ = (h_a * b) / (a + b + c) = (4 * 8) / (6 + 8 + 10) = 32 / 24 = 1,33 cm, M₂ = (h_b * a) / (a + b + c) = (3 * 6) / (6 + 8 + 10) = 18 / 24 = 0,75 cm
4. U = a + b + c = 5 + 6 + 7 = 18 cm
5. C = 180° – (A + B) = 180° – (53,13° + 25,99°) = 180° – 79,13° = 100,9°

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