Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Ecken und drei Seiten. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°.
Die Winkelsumme eines Dreiecks kann auch mit Hilfe der Seitenlängen berechnet werden. Dafür wird die sogenannte Kosinusformel verwendet. Die Formel lautet:
a·b·sin(C) = 180°
In dieser Formel steht a für die Länge der Seite, die dem Winkel C gegenüberliegt, b für die Länge der Seite, die dem Winkel B gegenüberliegt und sin(C) ist der Sinus des Winkels C.
Wenn man also zwei der drei Winkel und zwei der drei Seitenlängen eines Dreiecks kennt, kann man damit die dritte Seitenlänge und den letzten Winkel berechnen.
Aufgabe 1
Berechne den Winkel C und die Seitenlänge c der gezeichneten Dreiecke.
Lösung:
Für das obere Dreieck gilt:
a = 3, b = 4, C = 90°
Damit ergibt sich:
3·4·sin(90°) = 180°
12·sin(90°) = 180°
12·1 = 180°
c = 12
Für das untere Dreieck gilt:
a = 6, b = 8, A = 30°
Damit ergibt sich:
6·8·sin(30°) = 180°
48·sin(30°) = 180°
48·&frac;1}{2} = 180°
c = 16
Aufgabe 2
Berechne den Winkel C und die Seitenlänge a der gezeichneten Dreiecke.
Lösung:
Für das obere Dreieck gilt:
b = 3, c = 4, B = 90°
Damit ergibt sich:
3·4·sin(90°) = 180°
12·sin(90°) = 180°
12·1 = 180°
a = 12
Für das untere Dreieck gilt:
b = 5, c = 12, B = 36°
Damit ergibt sich:
5·12·sin(36°) = 180°
60·sin(36°) = 180°
60·&frac{√3}{2} = 180°
a = 20
Aufgabe 3
Berechne den Winkel B und die Seitenlänge b der gezeichneten Dreiecke.
Lösung:
Für das obere Dreieck gilt:
a = 2, c = 3, A = 30°
Damit ergibt sich:
2·3·sin(30°) = 180°
6·sin(30°) = 180°
6·&frac{1}{2} = 180°
b = 12
Für das untere Dreieck gilt:
a = 6, c = 8, A = 45°
Damit ergibt sich:
6·8·sin(45°) = 180°
48·sin(45°) = 180°
48·&frac{√2}{2} = 180°
b = 16
Aufgabe 4
Berechne den Winkel B und die Seitenlänge a der gezeichneten Dreiecke.
Lösung:
Für das obere Dreieck gilt:
b = 2, c = 3, C = 60°
Damit ergibt sich:
2·3·sin(60°) = 180°
6·sin(60°) = 180°
6·&frac{sqrt{3}}{2} = 180°
a = 12
Für das untere Dreieck gilt:
b = 5, c = 12, C = 72°
Damit ergibt sich:
5·12·sin(72°) = 180°
60·sin(72°) = 180°
60·&frac{sqrt{5}}{4} = 180°
a = 20
Aufgabe 5
Berechne den Winkel A und die Seitenlänge a der gezeichneten Dreiecke.
