Funktionenreihen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik. Sie bilden die Grundlage für die meisten Berechnungen, die wir durchführen. In diesem Artikel werden wir erklären, was Funktionenreihen sind und wie man sie verwendet.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei Variablen. In der Regel wird eine Funktion als graphentsätze aufgezeichnet. Die folgende Grafik zeigt eine einfache Funktion:
In diesem Fall ist x die independent Variable (die Variable, die wir ändern) und y ist die dependent Variable (die Variable, die von x abhängt).
Wenn wir eine Funktion als Gleichung schreiben, sehen wir, dass sie die Form y = f (x) hat. In diesem Fall ist f (x) die Funktion selbst.
Was ist eine Funktionsreihe?
Eine Funktionsreihe ist eine Reihe von Funktionen, die aufeinander aufbauen. Wenn wir eine Reihe von Werten haben, können wir sie in eine Funktionsreihe umwandeln. Dies ist ein sehr nützliches Konzept, weil es uns ermöglicht, komplexe Berechnungen durchzuführen, indem wir sie in einfachere umwandeln.
Ein einfaches Beispiel für eine Funktionsreihe ist die folgende:
In diesem Fall ist x die independent Variable und y ist die dependent Variable. Wir sehen, dass y immer dann wächst, wenn x größer wird. Wenn wir diese Funktion als Gleichung schreiben, würde sie die Form y = f (x) + g (x) + h (x) + … haben, wobei f (x), g (x), h (x), … alle Teilfunktionen sind.
Wie verwende ich Funktionenreihen?
Funktionenreihen sind ein sehr nützliches Konzept, weil sie uns ermöglichen, komplexe Berechnungen durchzuführen, indem wir sie in einfachere umwandeln. Wenn wir zum Beispiel eine komplexe Funktion haben, können wir sie in eine Reihe von einfachen Funktionen umwandeln und dann diese einfachen Funktionen nacheinander berechnen.
Ein Beispiel für eine komplexe Funktion ist die folgende:
In diesem Fall ist x die independent Variable und y ist die dependent Variable. Wir sehen, dass y immer dann wächst, wenn x größer wird. Wenn wir diese Funktion als Gleichung schreiben, würde sie die Form y = f (x) + g (x) + h (x) + … haben, wobei f (x), g (x), h (x), … alle Teilfunktionen sind.
Wir können diese Funktion in eine Reihe von einfachen Funktionen umwandeln, indem wir sie in ihre Teilfunktionen zerlegen:
Jede dieser Teilfunktionen ist einfacher zu berechnen als die ursprüngliche Funktion. Wir können also jede dieser Teilfunktionen nacheinander berechnen und dann die Ergebnisse zusammenzählen, um die Ergebnisse der ursprünglichen Funktion zu erhalten.
Fazit
Funktionenreihen sind ein sehr nützliches Konzept in der Mathematik. Sie bilden die Grundlage für die meisten Berechnungen, die wir durchführen. In diesem Artikel haben wir erklärt, was Funktionenreihen sind und wie man sie verwendet.
Aufgaben
1. Finden Sie eine Funktionsreihe, die f (x) = x2 + 2x + 1 approximiert.
2. Finden Sie eine Funktionsreihe, die f (x) = sin (x) approximiert.
3. Finden Sie eine Funktionsreihe, die f (x) = cos (x) approximiert.
4. Finden Sie eine Funktionsreihe, die f (x) = ex approximiert.
5. Finden Sie eine Funktionsreihe, die f (x) = ln (x) approximiert.
Lösungen
1. Die Funktionsreihe, die f (x) = x2 + 2x + 1 approximiert, ist die folgende:
y = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 – 1
2. Die Funktionsreihe, die f (x) = sin (x) approximiert, ist die folgende:
y = sin (x) = x – x3 / 3! + x5 / 5! – x7 / 7! + …
3. Die Funktionsreihe, die f (x) = cos (x) approximiert, ist die folgende:
y = cos (x) = 1 – x2 / 2! + x4 / 4! – x6 / 6! + …
4. Die Funktionsreihe, die f (x) = ex approximiert, ist die folgende:
y = ex = 1 + x + x2 / 2! + x3 / 3! + x4 / 4! + …
5. Die Funktionsreihe, die f (x) = ln (x) approximiert, ist die folgende:
