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Laplace Operator Kugelkoordinaten
Erklärung des Laplace Operators in Kugelkoordinaten
Der Laplace Operator in Kugelkoordinaten hat die Form: begin{equation} Delta=frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2frac{partial}{partial r}right)+frac{1}{r^2sintheta}frac{partial}{partialtheta}left(sinthetafrac{partial}{partialtheta}right)+frac{1}{r^2sin^2theta}frac{partial}{partialphi}left(frac{partial}{partialphi}right) end{equation} Diese Form des Laplace Operators ist in Kugelkoordinaten definiert. Dabei ist $r$ der Radialkoordinate, $theta$ der Polarkoordinate und $phi$ der Azimutwinkel. Der Laplace Operator gibt an, wie sich eine Funktion verändert, wenn man sich ein kleines bisschen in Richtung einer der Koordinaten bewegt.
Beispiel 1
Betrachten wir folgende Funktion: begin{equation} f(r,theta,phi)=r^2sinthetacosphi end{equation} Dann ist begin{equation} frac{partial f}{partial r}=2rsinthetacosphi end{equation} begin{equation} frac{partial f}{partialtheta}=r^2costhetacosphi end{equation} begin{equation} frac{partial f}{partialphi}=-r^2sinthetasinphi end{equation} begin{equation} frac{partial^2 f}{partial r^2}=2sinthetacosphi end{equation} begin{equation} frac{partial^2 f}{partialtheta^2}=-r^2sinthetacosphi end{equation} begin{equation} frac{partial^2 f}{partialphi^2}=-r^2sinthetacosphi end{equation} begin{equation} frac{partial^2 f}{partial rpartialtheta}=2rcosthetacosphi end{equation} begin{equation} frac{partial^2 f}{partial rpartialphi}=-2rsinthetasinphi end{equation} begin{equation} frac{partial^2 f}{partialthetapartialphi}=-r^2sin(2theta)cosphi end{equation} Und so ist begin{equation} Delta f=frac{partial^2 f}{partial r^2}+frac{partial^2 f}{partialtheta^2}+frac{partial^2 f}{partialphi^2} end{equation} begin{equation} Delta f=frac{1}{r^2}left(2rcosthetacosphi+2sinthetacosphi-r^2sinthetacosphiright)+frac{1}{r^2sintheta}left(-r^2sinthetacosphi-r^2sin(2theta)cosphiright) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{1}{r^2}left(2rcosthetacosphi+2sinthetacosphi-r^2sinthetacosphi-r^2sin(2theta)cosphiright) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{1}{r^2}left(2rcosthetacosphi+2sinthetacosphi-r^2sinthetacosphi-r^2sinthetacosphiright) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{1}{r^2}left(2rcosthetacosphi+2sinthetacosphi-2r^2sinthetacosphiright) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{2}{r^2}left(rcosthetacosphi+sinthetacosphi-r^2sinthetacosphiright) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{2}{r}left(costhetacosphi+frac{sinthetacosphi}{r}-sinthetacosphiright) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{2}{r}left(costhetacosphi-frac{sinthetacosphi}{r}right) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{2}{r}left(costhetacosphi-frac{sinthetacosphi}{r}right) end{equation} begin{equation} Delta f=frac{2}{r}costhetacosphi-frac{2}{r^2}sinthetacosphi end{equation} begin{equation} Delta f=frac{2}{r}costhetacosphi-frac{2}{r^2}sinthetacosphi end{equation}
Aufgabe 1
Berechne $Delta f$, wenn begin{equation} f(r,theta,phi)=r^2sinthetasinphi end{equation} Lösung: begin{equation} Delta f=frac{2}{r}costhetasinphi-frac{2}{r^2}sinthetasinphi end{equation}
Aufgabe 2
Berechne $Delta f$, wenn begin{equation} f(r,theta,phi)=r^2costheta end{equation} Lösung: begin{equation} Delta f=-frac{2}{r}sintheta end{equation}
Aufgabe 3
Berechne $Delta f$, wenn begin{equation} f(r,theta,phi)=r^2sintheta end{equation} Lösung: begin{equation} Delta f=frac{2}{r}costheta end{equation}
Aufgabe 4
Berechne $Delta f$, wenn begin{equation} f(r,theta,phi)=r^2sinphi end{equation} Lösung: begin{equation} Delta f=frac{2}{r}cosphi end{equation}
Aufgabe 5
Berechne $Delta f$, wenn begin{equation} f(r,theta,phi)=r^2cosphi end{equation} Lösung: begin{equation} Delta f=-frac{2}{r}sinphi end{equation}
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