Determinante | Übungen und Aufgaben mit Lösungen

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Determinante

Allgemein:

Die Determinante ist ein Wert, der aus den Elementen einer quadratischen Matrix berechnet wird. Die Determinante gibt an, ob eine Matrix regulär ist oder nicht. Eine Matrix ist dann regulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Berechnung der Determinante für eine 2×2 Matrix

Für eine 2×2 Matrix gilt folgende Formel:

det(A) = a₁₁ * a₂₂ – a₁₂ * a₂₁

Das bedeutet, die Determinante einer 2×2 Matrix wird berechnet, in dem man das Produkt der Hauptdiagonalelemente bildet und dieses dann mit dem Produkt der Nebendiagonalelemente verrechnet.

Beispiel 1:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

A = begin{pmatrix} 1 & 2\ 3 & 4 end{pmatrix}

Lösung: Wir berechnen zuerst das Produkt der Hauptdiagonalelemente und erhalten 1 * 4 = 4.

Anschließend berechnen wir das Produkt der Nebendiagonalelemente und erhalten 2 * 3 = 6.

4 – 6 = -2

Die Determinante der Matrix A ist -2.

Beispiel 2:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

B = begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\ 5 & 6 & 7\ 8 & 9 & 10 end{pmatrix}

Lösung: Wir berechnen zuerst das Produkt der Hauptdiagonalelemente und erhalten 2 * 6 * 10 = 120.

Anschließend berechnen wir das Produkt der Nebendiagonalelemente und erhalten 3 * 9 * 8 + 4 * 7 * 5 = 216.

120 – 216 = -96

Die Determinante der Matrix B ist -96.

Aufgabe 1:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

C = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9 end{pmatrix}

Lösung: 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 – 3 * 5 * 7 – 2 * 4 * 9 – 1 * 6 * 8 = 0

Aufgabe 2:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

D = begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\ 1 & 0 & -1\ 2 & 1 & 0 end{pmatrix}

Lösung: 4 * 0 * 0 + 3 * 1 * -1 + 2 * -1 * 1 – 2 * 3 * -1 – 1 * 2 * 0 – 0 * 1 * 2 = 0

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

E = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\ 2 & 3 & 4 & 5\ 3 & 4 & 5 & 6\ 4 & 5 & 6 & 7 end{pmatrix}

Lösung: 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 – 3 * 5 * 7 – 2 * 4 * 9 – 1 * 6 * 8 = 0

Aufgabe 4:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

F = begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 7\ 11 & 13 & 17 & 19\ 23 & 29 & 31 & 37\ 41 & 43 & 47 & 53 end{pmatrix}

Lösung: 2 * 13 * 31 * 53 + 3 * 17 * 23 * 43 + 5 * 19 * 29 * 41 – 5 * 13 * 29 * 47 – 3 * 19 * 37 * 41 – 2 * 23 * 31 * 43 = 0

Aufgabe 5:

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

G = begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 end{pmatrix}

Lösung: 1 * 3 * 6 * 10 * 15 + 1 * 4 * 10 * 15 * 35 + 1 * 5 * 15 * 20 * 70 + 1 * 2 * 10 * 35 * 70 + 1 * 3 * 20 * 35 * 70 – 1 * 3 * 4 * 15 * 20 – 1 * 2 * 5 * 10 * 35 – 1 * 4 * 5 * 15 * 70 – 1 * 1 * 10 * 35 * 70 = 0

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