Eine Determinante ist ein Wert, der aus einer quadratischen Matrix berechnet wird. Die Determinante einer 3×3 Matrix ist ein wichtiges Konzept in der Linear Algebra und wird häufig in physikalischen Berechnungen verwendet.
Die Determinante einer 3×3 Matrix berechnet sich wie folgt:
Wenn Sie diese Formel verwenden, um die Determinante einer 3×3 Matrix zu berechnen, wird dies als “ Erste Berechnungsmethode “ bezeichnet. Beachten Sie, dass sich die Werte der Matrix in den Klammern befinden.
Es gibt jedoch eine vereinfachte Methode, um die Determinante einer 3×3 Matrix zu berechnen. Dies wird als „Laplace-Entwicklung“ bezeichnet. Die Laplace-Entwicklung ist wie folgt:
In dieser Formel wird für jeden Wert in der ersten Spalte der Matrix die Determinante der 2×2-Teilmatrix berechnet, die den jeweiligen Wert umgibt. Beachten Sie, dass sich die Werte der 2×2-Teilmatrix in den Klammern befinden.
Die Berechnung der Determinante einer 3×3 Matrix kann also auf die Berechnung der Determinanten mehrerer 2×2 Matrizen reduziert werden. Wenn Sie diese Vorgehensweise verwenden, um die Determinante einer 3×3 Matrix zu berechnen, wird dies als „Laplace-Entwicklung“ bezeichnet.
Beispiel 1
Berechnen Sie die Determinante der folgenden 3×3 Matrix:
A =
[ 1 2 3 ]
[ 4 5 6 ]
[ 7 8 9 ]
Lösung:
Zunächst berechnen wir die Determinante der 2×2-Teilmatrizen um jeden Wert in der ersten Spalte:
A11 =
[ 5 6 ]
[ 8 9 ]
det(A11) = 5 * 9 – 8 * 6
det(A11) = 45 – 48
det(A11) = -3
A12 =
[ 4 6 ]
[ 7 9 ]
det(A12) = 4 * 9 – 7 * 6
det(A12) = 36 – 42
det(A12) = -6
A13 =
[ 4 5 ]
[ 7 8 ]
det(A13) = 4 * 8 – 7 * 5
det(A13) = 32 – 35
det(A13) = -3
Nun können wir die Determinante der 3×3 Matrix berechnen:
In diesem Artikel haben wir gelernt, wie man die Determinante einer 3×3 Matrix berechnet. Wir haben zwei verschiedene Berechnungsmethoden kennengelernt: die erste Berechnungsmethode und die Laplace-Entwicklung. Beide Methoden sind gültige Berechnungsmethoden für die Determinante einer 3×3 Matrix. Wir haben auch gelernt, wie man die Determinante einer 2×2 Matrix berechnet, was ein wichtiger Teil der Laplace-Entwicklung ist.
Aufgaben
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Determinante der folgenden 3×3 Matrix:
